三平方の定理が一瞬で理解できる!公式・証明から計算問題まで解説

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はじめに

三平方の定理、あなたはちゃんと説明できますか?問題、解けますか?

中学数学の中でも、図形問題はなかなか難しいものの1つです。三平方の定理は、その図形問題を解く際の基礎であり、必要不可欠な知識です。ですので三平方の定理をしっかりと理解し、応用もできるようになっておかないと、高校入試の数学には太刀打ちできませんし、高校に入ってからの数学にもついていけなくなります。

授業では習ったけどいまいちよく分からない…、そもそも三平方の定理って何…?というあなたに向けて、この記事では三平方の定理について分かりやすく解説していきます!
三平方の定理の公式とその証明を説明した後に、例題を元に計算問題の解き方、応用も紹介していきます。更には三平方の定理の中に必ず出て来る√(ルート)についても最後に解説します。

この記事を読めばあなたの理解もきっと深まります!

三平方の定理とは

三平方の定理とは

三平方の定理は、ピタゴラスの定理とも言われ、直角三角形の3辺の長さの関係を表す等式のことをいいます。この定理を使えば、直角三角形の2辺の長さがわかっていれば、残りの1辺の長さもわかってしまうのです。具体的には、「斜辺以外の2辺の長さをそれぞれ2乗して足すと、斜辺の長さの2乗に等しくなる」というものです。

どういう場面で使われるのか

図形問題では頻出の知識です。ただし高校入試レベルの問題となると、そのままの形で登場することは多くありません。相似や合同など、他の図形的知識と組み合わされた、融合的な図形問題を解く際の1つのパーツとして使われます。ですので、一見ここは三平方の定理を使う場面なのかどうか分かりにくいような問題がよく出てくるため、使い所を「見抜く」力が必要になってきます。
実戦レベルの例としては、後にも紹介しますが空間図形の高さを求めたり、辺の比から角度を求めたりするような使われ方をします。

三平方の定理の公式

三平方の定理の公式を紹介します。下の図のように直角三角形の直角を挟む2辺をa,bとし、斜辺をcとすると

a²+b²=c²

の等式が成立することを三平方の定理と言います。

三平方の定理の証明

三平方の定理の証明について紹介したいと思います。三平方の定理の証明方法は100通り以上あるといわれていますが、ここでは有名で分かりやすいものを2つ挙げています。

1つ目は、ピタゴラスによって証明されたといわれている方法です。図形の組み換えにより三平方の定理の等式が証明されています。
真ん中の黄色の正方形の面積は、下図のように

となります。

これを組み替えると下図のようになり、見て分かるように1辺の長さがaの正方形とbの正方形を足し合わせた面積が、さっきの黄色の部分の面積と等しくなります。
よって

が示されました。

2つ目はガルフィールドによって証明されたといわれている方法です。
下図において、台形ACDEの面積は、

また、台形ACDE=2△ABC+△ABEなので、

となり示されました。

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この記事を書いた人
現役で早稲田大学 政治経済学部に合格しました。センター利用だったので主に国公立対策の記事を書いています。 得意科目は英語と国語で、歌うことが大好きです。精密採点DX-Gでの最高得点94.497。95点越えが目標です。

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