はじめに
連立方程式が解けない！
というあなた。
連立方程式の怖いところは、ベクトル、三角関数、微分・積分などなど、数学の様々な問題で出てくること。「連立方程式が解けない」とは、「数学のほとんどの問題が解けない」ということを意味します。
連立方程式が解けない人のほとんどは、中学数学がまずあやしいことが多いです。
そこで、この記事では、中学数学から大学受験まで、よく使う解法を、基本である「代入法」と「加減法」から丁寧に説明していきます。
連立方程式をマスターして、数学を得意科目にしましょう！
連立方程式のすべての基本！「代入法」と「加減法」
それでは連立方程式の具体的な解法を紹介していきます。
まずは基本中の基本、加減法と代入法です。すべての連立方程式はこの2つを組み合わせることで解くことができます。
加減法
加減法とは、わかりやすくいえば
ステップ1：複数の方程式が共通して持つ文字の中から1つの文字を選び、その文字の係数をそろえる
ステップ2：係数をそろえた文字が消去できるように、方程式を足したり引いたりする
この2ステップのことです。
係数とは、文字の前についている数字のこと。「6x」だったら「6」が係数です。
文章だけで理解するのは難しいので実際の例を見てみましょう。
【問題】xとyの値を求めよ。
2x-y=1
x+2y=8
【解説】
まず、説明がしやすいように
①2x-y=1
②x+2y=8
と記号をおきます。
さて、先ほど加減法とは
ステップ1：複数の方程式が共通して持つ文字の中から1つの文字を選び、その文字の係数をそろえる
ステップ2：係数をそろえた文字が消去できるように、方程式を足したり引いたりする
であると説明しました。
xとy、どちらの係数をそろえるかは、どちらでも構いません。
ここでは両方を解説します。
＜xの係数をそろえるとき＞
②の両辺を2倍すると2x+4y=16 これを③とおく。（…ステップ1）
①2x-y=1
③2x+4y=16
より、①-③で -5y=-15⇔y=3（…ステップ2）
y=3を①に代入して、①⇔2x-3=1⇔x=2
よって求める値はx=2, y=3
＜yの係数をそろえるとき＞
①の両辺を2倍すると4x-2y=2 これを③とおく。（…ステップ1）
②x+2y=8
③4x-2y=2
より、②+③で 5x=10⇔x=2（…ステップ2）
x=2を②に代入して、2+2y=8⇔2y=6⇔y=3
よって求める値はx=2, y=3
1)複数の方程式が共通して持つ文字の中から1つの文字を選び、その文字の係数を揃える
2)係数を揃えた文字が消去できるように、方程式を足したり引いたりする
代入法
さて、加減法の次は代入法です。
代入法とは、「方程式を他の方程式にはめこむこと」。こちらも例題を用いて詳しく説明します。
【問題】xとyの値を求めよ。
2x-y=1
x+2y=8
（加減法の説明で用いた例題と同じ問題です）
【解説】
まず、説明がしやすいように
①2x-y=1
②x+2y=8
と記号をおきます。
ここで①をよく見ると、移項してy=2x-1という式が作れることがわかります。
これを②に代入すると、 ②⇔x+2(2x-1)=8⇔5x=10⇔x=2
これをy=2x-1に代入すると、y=2×2-1=3
よって、求める値はx=2, y=3
同じことが②でもできます。
②よりx=8-2y
①に代入して、2(8-2y)-y=1⇔5y=15⇔y=3 これをx=8-2yに代入して、x=8-2×3=2
よって、求める値はx=2, y=3
加減法が複数の方程式を足したり引いたりするのに対し、
代入法は1つの方程式を他の方程式にはめ込む、というイメージです。
方程式を他の方程式にはめこむこと
「x+2y = 2x-y+9 = 11」の解き方
さて、加減法と代入法がわかったところで、もう少し複雑な問題を解いてみましょう。
【問題】xとyの値を求めよ。
x+2y=2x-y+9=11
【解説】
この問題の少し難しい点は、「複数の式がすべて=でつながっており、一見連立方程式でないように見える」ところ。
ですが、式をバラしてあげれば先ほど解いた「2x-y=1, x+2y=8」と同じ形にすることができます。
つまり、
x+2y=2x-y+9=11は
x+2y=11①
2x-y+9=11②
と同じである、ということです。
ここからは加減法と代入法、どちらを使っても解くことができます。
＜加減法を用いる場合＞
x+2y=11①
2x-y+9=11②
②⇔2x-y=2 これを③とおく。
①の両辺を2倍して、2x+4y=22 これを④とおく。
④-③⇔5y=20⇔y=4
これを③に代入して、2x-4=2⇔2x=6⇔x=3
以上より、求める答えはx=3, y=4
＜代入法を用いる場合＞
②よりy=2x-2 これを③とおく。
③を①に代入して、 x+2(2x-2)=11⇔5x=15⇔x=3
これを③に代入して、y=2×3-2=4
以上より、求める答えはx=3, y=4
文字が3つ出てくる連立方程式の解き方
ここまでの連立方程式はすべてxとyという2種類の文字しか出てきませんでしたが、実際は文字が2つとは限りません。
以下の問題を考えてみましょう。
【問題】x, y, zの値を求めよ。
x+y+z = 6
3x+2y+z = 10
x-2y-z = -6
【解説】
文字が3つでも、やることは変わりません。加減法と代入法を用いて、1つずつ文字を消去していきます。
x+y+z = 6①
3x+2y+z = 10②
x-2y-z = -6③
①+③ 2x-y=0⇔y=2x これを④とおく。（…加減法でzを消去し、yをxで表す式を作る）
④を①②に代入すると、（…代入法でyを消去）
①⇔x+2x+z=6⇔3x+z=6⑤
②⇔3x+2×2x+z=10⇔7x+z=10⑥（…あとは⑤⑥を解くだけ！）
⑥-⑤より4x=4⇔x=1が導けて、これを⑤に代入すると⑤⇔3+z=6⇔z=3
また、x=1を④に代入するとy=2。
よって、求める答えはx=1, y=2, z=3
正解できましたか？
文字同士のかけ算が入る連立方程式の解き方
連立方程式の中には、文字同士のかけ算が入っているものがあります。ここでは、そういった連立方程式の解き方を説明します。
「いかに簡単な計算をするか」を考えよう
まず重要なのは、「なるべく複雑な計算をしなくてもよい方法を考える」ことです。
文字が増えていくにつれて、解法もバリエーションが増えてきますが、その中でも1番楽に解が求められる解法を選択するようにしましょう。
以下、問題を通じて解説します。
文字が2つのときの解き方
【問題】xとyの値を求めよ
x+y=5
xy=6
このほかにも、①の両辺にyをかけて②を代入する方法もあります。
ちなみに、②の両辺をxで割って①に代入したりするやり方もありますが、この「文字で両辺を割る」というのは「その文字が0でない」ということを証明しなければいけません。
詳しくは後述しますが、「文字で両辺を割る」以外の解法があるときは、使わないほうが無難です。
文字が3つのときの解き方
【問題】x, y, zの値を求めよ。
x+y+z=6
xyz=6
x+z=y
この問題では、足し算の式が2つ、かけ算の式が1つあります。
当然ですが、yの2次方程式・3次方程式からyの値を求めるのと、yの1次方程式からyの値を求めるのでは、後者のほうがずっと簡単ですよね。次数が低いほど、楽に答えを求められます。
なので、まず足し算の式2つで、文字の値や式をできるだけ次数が低い形で求めます。
そして、それでできた式をかけ算の式に代入し、方程式を解いて値を求めましょう。
足し算の式で文字をなるべく字数が低い形にしてから、それをかけ算の式に代入する
連立方程式の文章題を解くコツ
ここでは、連立方程式の文章題について解説します。
基本は「答えとして出す値」を文字にする
文章題でカギとなるのは、「どの値に文字を置くか」です。文字の置き方をすこし変えるだけで、計算のしやすさや式の複雑さが一気に変わります。
基本的には、「最終的に答えとして出す値」に文字をおきましょう。
たとえば、
「1個100円のりんごと1個50円のみかんを合わせて8個買ったら、代金の合計が850円だった。りんごとみかんはそれぞれ何個買ったのか。」
という問題だったら、りんごの個数をx、みかんの個数をyとして式を立てれば、
x+y=8
100x+50y=850
というわかりやすい式がたてられる上、xとyの値が出たらそれを答えとして書けばいいので、余計なミスを犯さずにすみます。
ただ、問題の難易度が上がるにつれて、「最終的に答えを出す値」以外のものに文字をおいたほうがよい問題も出てきます。大学受験の入試問題だと、「何に文字を置くか」ということが問題のメインテーマになる、ということさえあります。
なので、まずは「最終的に答えを出す値」に文字を置き、それで式があまりにも複雑だったり解けなさそうであれば、他のものに文字を置くことを考える、
というやり方が最適だといえます。
「食塩水の濃度」を求める問題で練習してみよう
では、よく出題される「食塩水の濃度を求める」問題で、文章題の練習をしてみましょう。
【問題】
濃度がそれぞれ5%、10%の2種類の食塩水があります。これらを混ぜて、濃度が8%の食塩水を60gつくりたい場合、それぞれの食塩水は何グラムずつ混ぜるべきか。
【解説】
この場合の「最終的に答えを出す値」とは2種類の食塩水の、それぞれ混ぜるべき重さですから、
5%の食塩水の混ぜる重さをxグラム、
10%の食塩水の混ぜる重さをyグラムとおきます。
5%の食塩水xグラムと10%の食塩水yグラムを混ぜた食塩水が、濃度が8%の食塩水になるということは、
0.05x+0.1y=4.8 （…塩の重さ）
x+y=60 （…食塩水の重さ）
であるため、これを解いてx=24, y=36
よって、5%の食塩水は24グラム、10%の食塩水は36グラム混ぜるべき、と導けます。
比例式を連立方程式といっしょに使うには？
比例式と方程式が提示され、「値を求めよ」と言われる問題を見たことはありませんか？
ここでは、そんな比例式を含んだ連立方程式の解き方を解説します。
※比例式とは？
比例式とは、「a:b = x:y」や「a:b:c = x:y:z」「a:b = x:y = m:n」のように、
「複数の比が等しいことを表した式」のことです。
比例式が出てきた場合、そのままの形だと使いにくいので、方程式に直しましょう。
「a:b = x:y」(ただしa, b, x, y はすべて0でない)
という比例式は、
「ay = bx」という方程式に直すことができます。…{注}
このやり方さえわかっていれば、後は普通の連立方程式と同じ解き方で解くことができます。
【問題】xとyの値を求めよ。ただしxは自然数とする。
x: y =1 :2
xy+x+y=27
{注}なぜ「a:b=x:y」は「ay=bx」に直すことができるのでしょうか？以下、それを説明します。
a, b, x, y がすべて0でないとき、
「a:b=x:y」より、xとyは0でない数mを用いて
x=ma
y=mb
と表すことができます。
このとき、
ay=mab
bx=mab
よって、ay=bxとなります。
分数が出てくる連立方程式
では最後に、分数が出てくる連立方程式について説明します。
分数だからといって解き方がガラリと変わるわけではなく、加減法と代入法を用いて答えを求める点では今までやってきた問題と一緒です。
分母が大きいときは最小公倍数をかける
分数だと計算がしにくい？では、分数を整数に直してしまいましょう。
このままだと分母がバラバラで、計算ができません。そこで、①②③の式それぞれの両辺に、最小公倍数をかけて整数の式に直してみましょう。
100, 30, 50の最小公倍数は300なので①には300を、
25, 50, 300の最小公倍数も300なので②にも300を、
25, 75, 30の最小購買数は150なので③には150をかけてみます。
そうすると、
①3x+10y=1800
②12x-6y=z
③12x+2y=5z
という式ができあがります。
こうなればもう解けるはずです。詳しい解説は載せませんが、答えは
x=100, y=150, z=300
合っていましたか？
分母が文字のときはどうする？
上の問題は分母が数字でしたが、分母が文字の場合はどう解くのでしょうか？
いくつかよく使う解き方がありますので、問題を解きながら考えてみましょう。
先ほどは最小公倍数を両辺にかけて分数をなくしました。それと同様に、分母に文字が含まれているときは、「分母の公倍数を両辺にかけることで、分数をなくす」ことができます。
これは連立方程式ではありませんが、「分母の公倍数を両辺にかけることで、分数をなくす」方法の練習になりますので、解いてみましょう。
なぜ「6-x≠0かつx-3≠0より」と書かれているのかわかりますか？
少なくとも中学・高校数学においては、分母は0になりえません。なので、「x=1, 5を代入した際に、分母が0でない」ことを証明しない限り、x=1, 5が求める答えであるとは言えないのです。
記述式の問題でしたら「分母≠0」の言及がないと確実に減点されます。
また、問題が難しくなると「方程式で出てきた解を代入したら分母が0になってしまったので、問題の答えからは省かなければならない」という場合が出てきます。
「分母≠0」というのは単に答案の書き方の問題ではなく、問題の答え自体にも影響してくるので、常に意識しておきましょう。
上の問題は、分母をかけたことで式が2次方程式となり、xの値を出すことができました。
では、以下の問題ではどうでしょう。
まずは先ほどやった「分母をかける」方法でやってみてください。解けなくはないのですが、きっとしんどいはずです。
そこで、もう1つ解き方を紹介します。それは、「分数に新しい文字をおく」ということです。
新しい文字を設定することで、式を簡単にしましょう。
イメージとしては、「めんどくさいところを全部文字に置き換える」とうまくいくと思います。
これも頻出の解き方です。しっかり身につけてください。
{注}先ほど「分母≠0の言及が必要」と書きましたが、この問題では最後の答えの直前に
「x-y=1 (≠0)
3y-2x=2 (≠0)」
という記述がありますので、省いてもよいでしょう。もちろん書いても大丈夫です。
最後に
ここまで連立方程式の解き方について解説してきましたが、紹介したものは「よく使う解き方」であり、他にも色々な解き方があります。
問題によって何通りも解き方があったり、ベクトルなど違う分野を動員して解いたりするのが、連立方程式の面白い点です。
この記事で紹介した解き方を身につけつつ、たくさん問題を解いて色々な解き方に出会ってみてください。それはきっと、あなたの数学の力を伸ばしてくれるはずです。
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