連立方程式の解き方を徹底解説!〜中学数学からセンター試験まで〜

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比例式を連立方程式といっしょに使うには?

比例式と方程式が提示され、「値を求めよ」と言われる問題を見たことはありませんか?
ここでは、そんな比例式を含んだ連立方程式の解き方を解説します。

※比例式とは?
比例式とは、「a:b = x:y」や「a:b:c = x:y:z」「a:b = x:y = m:n」のように、
「複数の比が等しいことを表した式」のことです。


比例式が出てきた場合、そのままの形だと使いにくいので、方程式に直しましょう。
「a:b = x:y」(ただしa, b, x, y はすべて0でない)
という比例式は、
「ay = bx」という方程式に直すことができます。…{注}

このやり方さえわかっていれば、後は普通の連立方程式と同じ解き方で解くことができます。


【問題】xとyの値を求めよ。ただしxは自然数とする。
x: y =1 :2
xy+x+y=27

{注}なぜ「a:b=x:y」は「ay=bx」に直すことができるのでしょうか?以下、それを説明します。

a, b, x, y がすべて0でないとき、
「a:b=x:y」より、xとyは0でない数mを用いて
x=ma
y=mb
と表すことができます。

このとき、
ay=mab
bx=mab

よって、ay=bxとなります。

a:b = x:y」は、「ay = bx」に直す!

分数が出てくる連立方程式の解き方

では最後に、分数が出てくる連立方程式について説明します。
分数だからといって解き方がガラリと変わるわけではなく、加減法と代入法を用いて答えを求める点では今までやってきた問題と一緒です。

分母が大きいときは最小公倍数をかける

分数だと計算がしにくい?では、分数を整数に直してしまいましょう。

このままだと分母がバラバラで、計算ができません。そこで、①②③の式それぞれの両辺に、最小公倍数をかけて整数の式に直してみましょう。
100, 30, 50の最小公倍数は300なので①には300を、
25, 50, 300の最小公倍数も300なので②にも300を、
25, 75, 30の最小購買数は150なので③には150をかけてみます。

そうすると、
①3x+10y=1800
②12x-6y=z
③12x+2y=5z

という式ができあがります。
こうなればもう解けるはずです。詳しい解説は載せませんが、答えは

x=100, y=150, z=300

合っていましたか?

分母の最小公倍数をかけて、解きやすい整数式にしよう!

分母が文字のときはどうする?

上の問題は分母が数字でしたが、分母が文字の場合はどう解くのでしょうか?
いくつかよく使う解き方がありますので、問題を解きながら考えてみましょう。

先ほどは最小公倍数を両辺にかけて分数をなくしました。それと同様に、分母に文字が含まれているときは、「分母の公倍数を両辺にかけることで、分数をなくす」ことができます。
これは連立方程式ではありませんが、「分母の公倍数を両辺にかけることで、分数をなくす」方法の練習になりますので、解いてみましょう。

なぜ「6-x≠0かつx-3≠0より」と書かれているのかわかりますか?
少なくとも中学・高校数学においては、分母は0になりえません。なので、「x=1, 5を代入した際に、分母が0でない」ことを証明しない限り、x=1, 5が求める答えであるとは言えないのです。

記述式の問題でしたら「分母≠0」の言及がないと確実に減点されます。
また、問題が難しくなると「方程式で出てきた解を代入したら分母が0になってしまったので、問題の答えからは省かなければならない」という場合が出てきます。
「分母≠0」というのは単に答案の書き方の問題ではなく、問題の答え自体にも影響してくるので、常に意識しておきましょう。



上の問題は、分母をかけたことで式が2次方程式となり、xの値を出すことができました。
では、以下の問題ではどうでしょう。

まずは先ほどやった「分母をかける」方法でやってみてください。解けなくはないのですが、きっとしんどいはずです。

そこで、もう1つ解き方を紹介します。それは、「分数に新しい文字をおく」ということです。
新しい文字を設定することで、式を簡単にしましょう。

イメージとしては、「めんどくさいところを全部文字に置き換える」とうまくいくと思います。
これも頻出の解き方です。しっかり身につけてください。

めんどくさいところを文字に置き換える!

{注}先ほど「分母≠0の言及が必要」と書きましたが、この問題では最後の答えの直前に
「x-y=1 (≠0)
3y-2x=2 (≠0)」
という記述がありますので、省いてもよいでしょう。もちろん書いても大丈夫です。

連立方程式のまとめ

ここまで連立方程式の解き方について解説してきましたが、紹介したものは「よく使う解き方」であり、他にも色々な解き方があります。
問題によって何通りも解き方があったり、ベクトルなど違う分野を動員して解いたりするのが、連立方程式の面白い点です。
この記事で紹介した解き方を身につけつつ、たくさん問題を解いて色々な解き方に出会ってみてください。それはきっと、あなたの数学の力を伸ばしてくれるはずです。

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この記事を書いた人
現役で東京大学 文科I類に合格しました。夏からアメリカに1年留学するのですが、マジで太りたくないので野菜しか食べないつもりです。 得意科目は英語と数学で、国公立対策の記事を中心に執筆しています。

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