平方根(ルート)の計算や問題の解き方を完璧に理解しよう!

この記事は最終更新日から1年以上が経過しています。内容が古くなっているのでご注意ください。

はじめに

中学数学のヤマ場の1つである「平方根(ルート)」。

しかし、平方根はイメージがしにくい上に、ルートやら計算やら有理化やら、様々な概念が出てくるため理解が難しく、中学生だけでなく高校生でも苦手としている人は多いです。
ですが、高校数学では平方根はわかっていて当然のものとしてほとんどすべての問題に出てきます。平方根が苦手のまま放っておくと、受験どころではなくなってしまいます。

そこで、今回は「平方根って何?」という基礎の基礎から、センターレベルの問題までを解説します。
平方根をマスターして、数学のわからないところを潰していきましょう!

平方根(ルート)とは?

平方根とは何かということを理解するにおいて、必須の概念が「2乗」です。
2乗とはある数を2回かけること。たとえば2の2乗は4、3の2乗は9です。

そして、平方根とは「2乗」の逆の概念です。
0以上のaという数があるとして、ある数を2乗するとaになるとします。この「ある数」を「aの平方根」といい、
文字を使って表すと、
±√a
となります。

えっ、√aだけじゃなくて-√aもaの平方根なの?と思った方もいるでしょう。
aの平方根とは「2乗するとaになる数」のことです。マイナスを2乗する、つまりマイナスにマイナスをかけるとプラスになりますから、-√aは2乗するとaになります。
なので、aの平方根は√aだけでなく、-√aも入ります。

ちなみにこの「√」は、「根号」という名前で「ルート」と読みます。
「+」が「プラス記号」という名前で「たす」と読むのと同じようなものです。
「√a」は「ルートa」と読む、ということだけ覚えておきましょう。

aの平方根(a≧0)とは
2乗するとaになる数(+と-の2つある)
±√a

平方根(ルート)の求め方

ここでは、平方根の求め方について説明します。

「さっきaの平方根は√aっていったから、なんでも√の中に入れればいいんじゃないの?」と思ったあなた。それは半分正しくて、半分間違っています。
平方根には表し方が複数あり、中学・高校数学では「ただ√の中に数字を入れる」表し方ではないものを使うことがよくあるのです。

ここでは、その表し方について説明します。

平方根(ルート)の前に:まずは素因数分解からおさらい

この表し方を理解するにおいて、「素因数分解」が非常に重要になってきます。
素因数分解ってなんだっけ?と思ったあなた、まずはここからおさらいしましょう。

素因数分解とは、「ある数を、素数の積で表すこと」です。(素数とは2, 3, 5, 7, 11, 13など、「自分と1以外の数では割り切れない数」のこと。)

たとえば、
8の素因数分解は「8=2³」
12の素因数分解は「12=2²×3」
75の素因数分解は「75=3×5²」
となります。

素因数分解についての記事もあるので、よりしっかりと復習したい人はこちらも参考にしてください。

2乗で表せる数を外にだして、±をつける

さて、先ほど「aの平方根」とは、「2乗するとaになる数」のことだと言いました。
同様に考えて、「a²の平方根」とは「2乗するとa²になる数」、つまり±aのことだといえます。
ここから、√a²=a, -√a²= -a ということがわかります。

√a²=a,-√a²=-a

これを用いると、√8や√12、√75を、

8=2²×2
12=2²×3
75=3×5²

より、

という形で表すことができるのです。

ちなみに、「√a」は必ず0以上、「-√a」は必ず0以下になりますが、「aの平方根」と言った場合は正負どちらも含みます。
ですから、
√8 = 2√2 , -√8 = -2√2ですが、
「8の平方根」は±2√2 となります。
この違いは非常に忘れやすいので、きちんと覚えておきましょう。


よってここまでをまとめると、ある数の平方根は、ある数を√にいれたあと、

①a²で表せる数を含んでいたらaを外に出す
(ただしaは2以上の自然数)
②±をつける

と、求めることができます!

平方根(ルート)が必ず満たす条件とは?

さて、平方根には、必ず満たす条件というものがあります。

それは、「√の中身は必ず0以上である」ということです。
なぜなら、「2乗したときに負の値になる数は、実数の範囲内には存在しない」からです。…{注}
これはよく使う条件ですので、きちんと覚えておきましょう。

√の中身は必ず0以上である

{注}実は、2乗したときに負の値になる数は実数の範囲外には存在し、「虚数」と呼ばれています。なので、この記事での説明には「実数の範囲内には」という条件をつけています。
この記事では実数・虚数についての詳しい説明は割愛しますが、高校数学の範囲内ですので気になる方は調べてみてください。

学習記録をつけて勉強をもっと効率的に!
受験生の3人に1人が使っているStudyplusで、勉強が続く!
無料会員登録

平方根(ルート)の計算

ここでは、平方根の入った計算の仕方を説明します。
足し算・引き算とかけ算・割り算で計算方法が違いますので、1つずつしっかり理解していきましょう。

足し算・引き算はルートの中に注目

それではまず、足し算・引き算の計算方法を説明します。

足し算・引き算においては、
ルートの中身が同じもののみを足したり引いたりすることができます。

つまり、
「4√2-3√2」は「4√2-3√2=√2」ができるけれども、
「4√5-3√2」はこれ以上簡単な形にすることができないということです。


ではなぜ、「ルートの中身が同じもの」という条件がつくのでしょうか?
これは、ルートを文字に置き換えてみるとわかりやすくなります。

√2と√5は大きさが違いますので、a=√2, b=√5と記号をおくと、
①4√2-3√2 = 4a-3a
②4√5-3√2 = 4b-3a
とあらわせます。
このとき、①はaという同じ文字同士の引き算なので、4a-3a=aとできますが、
②はaとbという違う文字同士の引き算なので、4b-3aから進むことができません。

平方根の計算についてもこれは同じで、ルートの中身が違った場合、平方根の値が変わってきてしまうため、そのまま足したり引いたりすることができないのです。



では、次に少し応用の問題を解いてみましょう。

√12-√75+√48
この計算をしてみてください。



「全部ルートの中身が違う!計算できないじゃん!」と思ったあなた、先ほどの「2乗で表せる数は外に出す」というのを思い出しましょう。
式に出てくる平方根はすべて、
√12 = 2√3
√75 = 5√3
√48 = 4√3
という形で表すことができます。これらのルートの中身はすべて同じ、3ですね。

よって、
√12-√75+√48 = 2√3-5√3+4√3 = √3
と計算することができます。

足し算引き算は、ルートの中身が同じものだけ足したり引いたりできる。

かけ算・割り算は「いかに簡単に計算するか」がカギ

さて、次はかけ算・割り算です。
足し算・引き算では、ルートの中身が違うものは計算することができませんでしたが、かけ算・割り算ではルートの中身が違うものも計算することができます。先ほどの文字の例で考えてみると、
4a×5b = 20ab
となることからもわかります。

そして、平方根同士をかけ算した値は、「ルートの中身をかけあわせた数をルートに入れたもの」です。つまり、

さて、かけ算・割り算に関してもっとも重要なのは、「いかに簡単に計算をするか」ということです。
たとえば、
√12×√48×√27という計算。あなたはどのようにしますか?

でも答えは出ますが、計算が非常にめんどくさいですよね。



そこで、先ほどの「2乗で表せる数は外に出す」ということを思い出して、
√12 = 2√3
√48 = 4√3
√27 = 3√3
に直してから計算すると、

√12×√48×√27 = 2√3×4√3×3√3 = 24×3×√3=72√3
というように簡単に求めることができます。

このように、かけ算・割り算ではより簡単な計算を追求して問題を解きましょう!

掛け算割り算は
√a×√b=√a×b
√a÷√b=√a÷b
いかに簡単な計算をするかが重要

平方根(ルート)は有理化して見やすい形にしよう

さきほどの

という計算。
ルートの中で割り算をしたあとに、分母と分子両方に√5をかけることで、分母からルートを取り除いています。
この「ルートを取り除く」こと、これを「有理化」といいます。平方根においては分母を有理化することが圧倒的に多いので、ここでは分母の有理化について説明します。


有理化の方法は簡単です。
「分母にかけるとルートが外れる数」があるとします。これを分母と分子、両方にかければよいのです。分母と分子両方に同じ数をかけても、分数の大きさは変わりません。

この有理化は、数の属性を簡単な形で表したり、数の大きさを推測しやすくするなどの目的があります。
答えとして書く値が分数で、分母にルートがある場合、基本的には有理化してから答えとしましょう。

ちなみに、大学受験においては簡単な形の分数でしたら、分母が平方根のままでも減点されないこともあります。ですが、減点されるされないの見極めが難しいので、とりあえず有理化する心持ちでいくのが一番安全だと思います。

分母の有理化=分母から平方根(√)を取り除く

この記事を書いた人
現役で東京大学 文科I類に合格しました。夏からアメリカに1年留学するのですが、マジで太りたくないので野菜しか食べないつもりです。 得意科目は英語と数学で、国公立対策の記事を中心に執筆しています。

関連するカテゴリの人気記事

平方根(ルート)の計算や問題の解き方を完璧に理解しよう!

因数分解のやり方・公式と解き方のコツ教えます!高校レベルまで対応!

二次方程式の解の公式・因数分解による解き方を解説!解の公式をマスター

部分分数分解の公式とやり方を解説!

三平方の定理が一瞬で理解できる!公式・証明から計算問題まで解説

二次関数のグラフの書き方と公式を使った最大値最小値問題の解き方!

関連するキーワード

スマホアプリで
学習管理をもっと便利に