平方根(ルート)の計算や問題の解き方を完璧に理解しよう!

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平方根の近似値の求め方

√2≒1.41
というのは聞いたことがありますか?
平方根を、近い大きさの数である「近似値」で表せ、という問題はよく出題されます。ここではこの、「平方根の近似値」について説明します。

覚えるべき近似値

近似値の求め方はあとで解説しますが、√2、√3などのよく出てくる平方根は、近似値は覚えてしまったほうが答えの確認などに使えて便利です。だいたい少数第2位まで覚えておけば十分でしょう。

√2 ≒ 1.41
√3 ≒ 1.73
√5 ≒ 2.24
√7 ≒ 2.64

√3=1.732のときの√300の大きさの求め方

さて、近似値の求め方を説明します。まずは何かしら平方根の近似値が与えられている場合について考えます。

√3=1.732のときの、√300の大きさを求めつつ、考えていきましょう。

このような問題では、「与えられている条件が使えるように、数字の形を変える」ことが重要です。
この問題だと、√3=1.732(与えられている条件)が使えるように、√300(数字)の形を変えよう!ということです。もっと詳しく言うと、300 = 3×100 の100を、ルートの外に出して考えてみましょう。

√300 = 10√3 = 10×1.732 = 17.32

条件をもとに平方根の近似値を求める場合は
その条件が使える形に、数字の形を変える

√2=1.41, √3 = 1.73のときの√6の求め方

√2=1.41, √3 = 1.73のとき、√6の近似値は何でしょう?

これも前の問題と同様に、「与えられている条件が使えるように、数字の形を変える」ことが必要です。
√2と√3を用いて√6を表すと…

√6 = √2×√3 = 1.41 × 1.73 = 2.4393
よって、√6の近似値は2.4393

イチから自分で求めるとき

これまで何かしら平方根の近似値が与えられており、それを手がかりに答えを求める問題を解いてきましたが、今回は平方根の近似値をイチから求めてみましょう。

まず、√11の近似値を考えます。今回は少数第2位まで求めることとします。
初めにやったとおり、11の平方根とは「2乗すると11になる数」のことですから、11の正の平方根をaとおくと
3²= 9
a²=11
4²= 16
より、3<a<4とわかりますね。
ここでaの1の位が求まりました。

次に少数第1位を求めます。
3.2²=10.24
3.3²=10.89
a²=11
3.4²=11.56
より、3.3<a<3.4がわかりました。

最後に少数第2位を求めます。
3.31²=10.9561
a²=11
3.32²=11.0224
よって、3.31<a<3.32
以上より、求める値は3.31です。


イチから求める場合、このような地道な作業が必要になりますが、先にやった
√2 ≒ 1.41
√3 ≒ 1.73
√5 ≒ 2.24
√7 ≒ 2.64
を覚えておくとあたりがつけやすくなります。

たとえば√14の近似値を求める場合、
√14 = √2×√7 ≒ 1.41×2.64 = 3.7224
より、3.7224周辺の数を2乗していけば、√14の近似値を手っ取り早く見つけることができるでしょう。

平方根の近似値をイチから自分で求める場合は
①基本地道に求める
②√2,√3などの代表的な近似値を覚えておくとあたりがつけやすい。

応用問題を解いてみよう

では最後に、平方根を用いた応用問題を解いてみましょう。

2<√a<3をみたす自然数aの求め方

【問題】2<√a<3をみたす自然数aを求めよ。

【解説】
ルートがあるから大きさがわかりにくい。ならば外してしまえ!という考え方をします。

2<√a<3
正の値を2乗しても不等式の大小関係は変わらないため、
4<a<9
これを満たす自然数aが求める答えであるので、答えは5, 6, 7, 8

√12aが正の整数になるような自然数aのうち最小のものとは?

大きい順に並べよう

x=√2+3 のときのx²-6x+1 の値の求め方

【問題】x=√2+3 のときのx²-6x+1の値を求めなさい。

【解説】
x²-6x+1=(√2+3)²-6(√2+3 )+3
とやろうとしたあなた。それでもいいですが、もっと楽にできる方法があります。

それは、
x²-6x+1
=(x-3)²-8
=(√2+3-3)²-8
=2-8
=-6
です。

この、平方完成をして計算を簡単にするやり方は、よく出てくるので覚えておきましょう!

最後に

ここまで、平方根とは何?という基礎の基礎から、平方根の求め方、計算方法、近似値の求め方を説明し、最後に応用問題を解説してきました。
平方根を使いこなし、計算を楽に行うためには、ある程度の演習量が必要です。この記事の解説を理解したら、教科書や問題集に載っている問題を解いてみましょう。解いていくうちにコツがつかめるはずです。
あなたが平方根をマスターできることを願っています!

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この記事を書いた人
現役で東京大学 文科I類に合格しました。夏からアメリカに1年留学するのですが、マジで太りたくないので野菜しか食べないつもりです。 得意科目は英語と数学で、国公立対策の記事を中心に執筆しています。

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