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余弦定理の証明&公式の使い方を解説!センター過去問の解説付き

この記事は最終更新日から1年以上が経過しています。内容が古くなっているのでご注意ください。

はじめに

数学1で習う定理や公式の中で最も厄介なものの1つが正弦定理・余弦定理だといえます。

しかし実はこれらの定理は使いこなせると三角比だけでなく、図形が出てくる問題なら様々な場面で役に立つ武器になってくれます。
今回は余弦定理の「どういう場面で使うのか」「どうやって証明するのか」「入試ではどんな形で出題されるのか」ということについて解説します。

余弦定理とは〜どういう場面で役立つのか〜

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「わからない辺の長さを求める時に使う」

あなたは「余弦定理とは何か」と聞かれたら何と答えますか?
「余弦」とは三角関数のcos(コサイン)のことです。
つまり余弦定理とは「cosの値を用いた定理」という意味です。
それではcosの値をどう使って何を求めるのか、次の図を見てください。

4xrjlwm6xv2dwdy0gbnoe7rka9lkydwlrlvnjx5b4vr1qg38pemjpqzwzloeraed?w=430

上のような三角形ABCにおいて、以下の式が成り立ちます。

Gq7xp6dk2xkdbm67rw1nx5lylzewygmkg8naeqzv9v3j8qbppjr4gaom0gbxjjzz?w=430

これを余弦定理と言います。
この式が表すところは
「図の赤い辺の長さと赤い角のcosの値から、青い辺の長さが分かる」
という意味ですね。
言葉で言い換えると、
「三角形のある辺の長さの2乗は、それ以外の2辺をそれぞれ2乗したものの和から、それ以外の2辺の長さと向かい合う角の余弦(cos)の積を引いたものに等しい」となります。

この式を見て、三平方の定理を思い出した人もいるかもしれません。

上の図で角Aが直角のときはcosA=0になります。これを代入すると、三平方の定理と完全に一致することになります。
この観点から、余弦定理は「三平方の定理を直角三角形以外に対しても使えるように拡張したもの」と見ることもできます!

3辺から1つの角度を求める

Oyzvgzwkdz8megekq25xwmdo3nl4y5obvwqax6vlyqjzp1rabr7bv9pgj09krjjq?w=430

余弦定理の式を変形すると、3辺の長さからcosθを求める式を作ることができます。

Qvg9wjvqwlmwkd1b8yrpz4jmne3ang53w9lovzp0r5xk7ldg2go96qebxjml6wzj?w=430

これを使えば、3辺の長さがわかっている三角形の角のcosを求めることができます。
cosの値や条件次第では、その角度の大きさも求められます。

まとめ:余弦定理の使い方

Gd3qdbx7qqbdove0l2wgzmpvg3wpyl5zwbzoykm6r4baked58jjzl19nxrlkg015?w=430

余弦定理の証明

Apdwe5vxaeg6q173j0l5d8wkdqmnn7omnd7nrlgvbexmwzyj4roppb9kz2q2llx3?w=430

それでは余弦定理を証明してみましょう!
「余弦定理は三平方の定理の拡張」ということで、三平方の定理を使えるように補助線を引くと上手く証明することができます。
角Aが90°のときは三平方の定理と同じなので、角Aが90°未満(鋭角)のときと角Aが90°より大きい(鈍角)のときに分けて証明します。

角Aが鋭角(90°未満)のとき

Mpvbx1ajjnrxew3lqppdlbzv5mq2abk2l80nd7vk0yg19zbxkgw4ro86emnz4yjq?w=430

点Cから辺ABに垂線を引き、その交点をHとします。
すると、三角形BHCが直角三角形となって三平方の定理が使えますね。

Mpvbx1ajjnrxew3lqppdlbzv5mq2abkpqzrnd7vk0yg19zbxkgw4ro86emnz4yjq?w=430

この三平方の定理の式、左辺は余弦定理で求めたいものと一緒になっていますね!
あとはBH,CHの長さを角Aと辺AB,ACの長さを使って求めれば証明完了です。

それではもう一つの直角三角形AHCに注目してみます。
直角三角形の斜辺と一つの角度がわかっているということは、三角比を用いて他の辺の長さが求められます。

Dzw5nqlm8jxv7rrjz2ok1ee4an3ynv76bwwylqbqwbpg05x6mzgwdk9dpv2jx1db?w=430

Ode1kq7q1ypnmrkb06dz58xajx3my9g9pm0alvwg9gowvdelqbrz4pek2j4ygnrj?w=430

5zwywr0xqbeglkvzey5poaz87jjlo0rjdapnd3xw1pgrbmk2mqv9wn6dr4gom7dk?w=430

図の赤い部分の長さを角AとACを用いて表すことができました。
また、ABからAHを引くことでBHの長さも求まります。
これでBH,CHの長さが求まったので、三平方の定理に代入すると

0165gbexk9a28lmvq46dmwgn50kzo8q6vkbaxglbbjzpreqv3wy7prd1ojojevb4?w=430

となって、余弦定理が導けます。

角Aが鈍角(90°より大きい)のとき

次は角Aが鈍角の時を考えます。三角形ABCが下の図のようなときです。

Jmjalez47eamldjrgj3yxdrlnq2xnzm2gmbampv8wp9wzbk5gqob1k6ve0zd7e0d?w=430

「三平方の定理を使うために点Cから辺ABに垂線を下ろす」という考え方は鋭角のときと一緒です。しかし、辺AB上に垂線を下ろすことができないので、辺ABをAの方向に延長してみます。

Gr1deekzx9vp658dz2xy71pdglajyyp8rdjnnv0wqebrmwjeo3mrq4lgbkl6wz4l?w=430

すると上の図のようになります。
三平方の定理を使って

Gq7xp6dk2xkdbm67rw1nx5lylzewygmy1edaeqzv9v3j8qbppjr4gaom0gbxjjzz?w=430

となることは鋭角のときと一緒なので、BH,CHをどうにかして表すことができないかと考えます。
ここで、三角比の性質を用いて

L470m9prldqnbe4lpxzxkmawkgj8amymedwady5qr319obezv6v7jwm02gqvjlpk?w=430

となることを使えば

Apdwe5vxaeg6q173j0l5d8wkdqmnn7omd24nrlgvbexmwzyj4roppb9kz2q2llx3?w=430

図より

Gd3qdbx7qqbdove0l2wgzmpvg3wpyl5z98poykm6r4baked58jjzl19nxrlkg015?w=430

∠CABがもともとの∠Aであることを考えると、鋭角のときと同じ式ができたことになります。
これで∠Aが90°未満、90°、90°より大きいときの全てにおいて余弦定理が成り立つことを示すことができました。
よってどんな三角形に対しても余弦定理は成り立つといえます。

証明のポイント

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実際の入試問題では

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それでは余弦定理は実際の入試問題ではどういった場面で使われるのか、例を上げてみてみましょう。
これまで見てきたように、「2つの辺と1つの角度がわかっている三角形の最後の1辺の長さを求める」のが余弦定理の使い方ですが、補助線や方程式を駆使することでもっと多様な場面で余弦定理を有効活用することができます。

2011年度 センター試験数学1A 第3問

点Oを中心とする円Oの円周上に4点A,B,C,Dがこの順にある。四角形ABCDの辺の長さはそれぞれ
AB=√7 , BC=2√7 , CD=√3 , DA=2√3
とする。

L470m9prldqnbe4lpxzxkmawkgj8amymepjady5qr319obezv6v7jwm02gqvjlpk?w=430

問題文に書いてある内容をとりあえず図にしてみるとこんな感じです。
これだけ見ると何をすればいいか全くわかりませんが、問題文を読むとこれだけの情報から最終的に「円Oの半径」「四角形ABCD」の面積を求めることになります。

余弦定理を使うためには2つの辺と1つの角度がわかっている三角形が無いといけません。
しかし現状この図にはそういったものはありません。

Pa2kwyap4zyke0exqmvwkw3qdrlvyrew6jvn85zmpdobgbj627xr1gn9ljz4l7vd?w=430

問題文を読むと、「∠ABC=θ、AC=xとおく」という誘導が続きます。それを図示したものが上の図です。
こうすると、三角形ABCについて余弦定理を使えば「cosθでxを表す」事ができるようになります。
また、「円に内接する四角形の向かい合う角の和は180°」という性質を使うと∠CDA=180°-θ,すなわちcos∠CDA=cos(180°-θ)=-cosθとなります。
これをふまえると、三角形CDAについて余弦定理を使うことでも「cosθをxで表す」式が作れます。
未知数がθとxの2つに対して方程式が2つ作れるということは、これらを連立すれば解くことができます。
なにもできなかった状態から補助線を一本引くだけで、余弦定理を用いて角度と対角線の長さを求めることができるようになるのです。
これを式にすると以下のようになります。

4xrjlwm6xv2dwdy0gbnoe7rka9lkydwz4axnjx5b4vr1qg38pemjpqzwzloeraed?w=430

3jmr1oql8xvxkpbgwbzzmqdr94j5akwz6mqak0p71lyd3jemnev2w6rgao2qkprd?w=430

Qvg9wjvqwlmwkd1b8yrpz4jmne3ang53w5govzp0r5xk7ldg2go96qebxjml6wzj?w=430

ここから先はcosθからsinθを求めて、正弦定理を用いて円の半径を求めるという流れになります。
この問題のポイントは、「一見余弦定理を使う条件が揃っていないように見えるときでも、補助線を引く、未知の値を文字で置く、等の工夫をすることで余弦定理を使うことができる」というところです。
「材料が揃ったから余弦定理を使う」のではなく、「ここがわかれば余弦定理が使える。だからここを文字で置いてみる」というような発想が大切です。
特に今回のように円に内接する四角形の性質を用いた問題はセンター試験でも入試でも頻出なので必ず押さえておきましょう!

最後に

数学では、どんな定理でも「どういった場面で使うのか」ということを意識しながら勉強するのが大切になります。
余弦定理は、「三角形の長さや角の大きさを求めたい時に使う」というのがはっきりしてはいるものの、今回紹介したセンター試験の過去問のように、三角形を自分で作り出さないといけない問題もあるのがポイントです。
そういった「自分で定理を使える条件を作る」という発想は、余弦定理に限らず数学の色んな分野で役に立つはずです。
たくさん問題を解いて、余弦定理を自在に操れるように身に着けましょう!

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