二次関数のグラフの書き方と公式を使った最大値最小値問題の解き方!

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はじめに

二次関数が分からない…でも高校入試・大学入試までには二次関数を解けるようになりたい…そんなあなたに、慶應義塾大学理工学部生の私が二次関数の基礎から最大値・最小値問題まで解説します!

実は私も高校1年生の時は二次関数が苦手でした。平方完成とかいう意味の分からない言葉を使われ、綺麗に描くことが難しい複雑なグラフが出てきてイライラしていました。
しかし授業中に数学の先生から「大学受験で頻出だから確実にできるようにしておけ!」と言われたので定期テストまでに必死に勉強して自分なりの理解の方法を見つけることで二次関数を理解することができました。
このときに考えた、苦手なりにも二次関数ができるようになった理解の方法をあなたに教えます。

今回の記事では、頂点の求め方や平方完成の方法、グラフの書き方などの二次関数の基礎から最大値・最小値問題の場合分けといった応用問題までの解説をしていこうと思います。
ぜひこの記事を読んで二次関数のイメージを掴み、自分でも二次関数を勉強してみてください。

二次関数の基本と理解の方法!

まずは数学学習の基本である数学用語を理解し、公式を知るところから始めましょう!
数学用語を知らないと問題文の意味が理解できないので、飛ばさずにしっかりと理解することが大切です。

二次関数とは?

一般的な説明であれば、
「二次関数とは、

で表される関数である。」
となっています。

関数という言葉がイマイチ何なのか分からない人もいると思いますがあまり気にしなくても大丈夫です。(※)

二次関数が苦手だった当時の私は、あれこれ考えずに
「①式の形で表されるものを二次関数と呼ぶ」と割り切っていました。問題を多く解くに連れて、違和感もなくなってきます。

※xにある値を代入するとyの値も1つだけに決まる時、yはxの関数と言います。右辺が二次の多項式なので二次関数と呼びます。

二次関数の平行移動

二次関数の問題を解くにあたって、平行移動の考え方が非常に重要になってきます。
平行移動自体が問題になることはほとんどありませんが、グラフを描くために頂点を求めるときに平行移動の考え方を使います。

一次関数でも二次関数でも、
pだけx軸方向に、qだけy軸方向に平行移動させる場合、
x→x−p、y→y−q
と書き換えます。
二次関数(1)

であれば、

と見比べると、

となっているので
x軸方向に−1、y軸方向に0だけ

を平行移動したグラフになるということです。
つまり二次関数(1)の頂点は(-1,0)になります。


二次関数(2)

であれば

と比べて

と書き換えられているので

をx軸方向に−2、y軸方向に5だけ平行移動させたものになります。
つまり二次関数(2)の頂点は(-2,5)になります。


【まとめ】
pだけx軸方向に、qだけy軸方向に平行移動させる場合、
x→x−p、y→y−qに書き換える

二次関数のグラフの書き方

ここからは二次関数のグラフの書き方を見ていきましょう。
まずは二次関数の式を平方完成しなくてはいけません。
平方完成とは、二次関数のグラフを描くために①式を変形することです。
グラフを書くためには頂点の座標が分からなくてはいけません、①の式では頂点の座標は分かりません。
そこで、頂点の座標がわかるような形に①を式変形しなくてはいけません。この式変形のことを平方完成と呼びます。

ここから①式を用いてどのような式変形をするのかを書いていきますが、これは平方完成の目的を解説するものであって公式ではないので覚える必要はありません。
平方完成の具体的なやり方、詳しい解説はコチラの記事を参考に見てください!

平方完成のやり方を東大生が解説!問題を通して簡単に理解しよう!

中学3年生で習ったように、

のグラフは描けると思います。
aが大きいほど二次関数の開きが狭くなります。
頂点の座標は(0,0)です。

この②式を
x軸方向に

y軸方向に

だけ平行移動したものとして③式を見ることができれば、

のグラフが描けます。

二次関数のグラフは、
②式

を平行移動させたものという考え方で描きます。
そのためには頂点の座標が必要になりますので、前述した平方完成で頂点の座標を求めます。

グラフの描き方(1)

頂点(-1,0)

頂点を(-1,0)にして

と同じ形のグラフを描きましょう。
頂点以外にもう一つ通る点を書いておくとグラフとして見やすくなります。

グラフの描き方(2)

頂点(-2,5)

今回はxの二乗の係数が3なので、

のグラフをx軸方向に−2、y軸方向に5だけ平行移動させましょう。

【まとめ】

平方完成で頂点を求めて、二乗の係数に応じた形で二次関数のグラフを描こう!

二次関数の軸の公式

二次関数の頂点のx座標を、二次関数の軸と呼びます。
もちろん平方完成でも求められますが、軸の値はよく求めることになるので公式として覚えてしまいましょう。

二次関数

の軸は

で表されます。

基本的な二次関数の問題

二次関数の頂点、x軸との交点の座標を求める問題

二次関数

の頂点、およびx軸との交点の座標を求めなさい。

頂点を求めるので、まずは平方完成です。

と因数分解できるので頂点は(-3,-28)になります。

x軸との交点を求めるときは、
x軸はy=0の直線と言い換えることができるので

を連立させてxについて解けば交点のx座標が求められます。

方程式として解くときは平方完成する前の形のほうが解きやすいです。

となるので交点の座標は

二次関数の放物線の方程式を求める問題

問)xの二乗の係数が1で頂点がy=x+1上にあり、点(3,4)を通る放物線の方程式を求めよ。

二次関数で最も重要な情報の1つが頂点ですので、まずは頂点の座標から見ていきましょう。
y=x+1上に頂点があるので頂点の座標は(a,a+1)とおけます。
xの二乗の係数が1なので、求める方程式を平方完成した形は、

と書けます。
この放物線が(3,4)を通るので代入すると

よって求める方程式は

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二次関数の最大値・最小値問題

二次関数で最も難しい問題の1つに最大値・最小値問題があります。
場合分けのパターンが多いため、覚えるよりもその場その場でグラフを描いて自分自身で場合分けを考えましょう。

二次関数の最大値・最小値問題の基本

まずは、

の最大値・最小値を求めてみましょう。

図より最大値なし、x=-2のとき最小値-3

【定義域が-1≦x≦2のとき】

図よりx=2のとき最大値19、x=-1のとき最小値3

【定義域が-3≦x≦-1のとき】

図よりx=-3,-1のとき最大値4、x=-2のとき最小値3

【定義域が-5<x<-1のとき】

図より最大値なし、x=-2のとき最小値3

このように定義域によって最大値・最小値が異なるため、関数や定義域に文字が入っているときは場合分けが必要になることがあります。
次の節で場合分けについて見ていきましょう。

二次関数の場合分けの問題

二次関数の方程式や定義域に文字が含まれている問題であれば、場合分けをしなくてはいけない可能性があります。
今回は標準レベルの問題を用意してみました。

a>0のとき、関数

の最大値と最小値を求めなさい。

関数問題でy=と書くときとf(x)=と書くときがありますが大した違いはありません。
f(x)=と書くと代入するときの文字数が少ないというメリットがあるくらいです。

二次関数自体は変化せず、定義域がどんどん広がっていくイメージを持って問題に挑みましょう。

頂点(3,-1)

最大値と最小値を分けて考えると理解しやすくなります。
まずは最大値について考えていきましょう。

【最大値】

0<a<6
で最大値

a=6で最大値

a>6で最大値

次に最小値を考えてみましょう。

【最小値】

0<a<3で最小値

a≧3で最小値

難しいと思えていた最大値・最小値問題も、図を描けば計算はほとんどすることなくすぐに答えが出せるのです!

【まとめ】

最大値・最小値問題は図を描けば一発!

この記事を書いた人
慶應義塾大学 理工学部に通っています。1人旅が趣味で、得意科目は数学と英語です!

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