正弦定理とは?公式や余弦定理との使い分けをわかりやすく解説!

この記事は最終更新日から1年以上が経過しています。内容が古くなっているのでご注意ください。

はじめに

センター試験の数学1Aでも必ず出題される平面図形。
難易度も高く、私もセンター試験本番で平面図形の問題が半分解けないという状況に陥ってしまいました。
その晩解答を見ると、なんてことはない落ち着いて考えれば解ける問題だったので、本番でしっかりと実力を発揮するためにはやはり日頃の勉強で基礎を大事にしておかなければいけないなと痛感した体験でした。

そんな平面図形の基礎となる2つの定理が正弦定理・余弦定理です。
今回は正弦定理の使い方や証明、余弦定理との使い分けなどを実際の入試問題も交えて解説します!
正弦定理なんて全くわからないという人にもわかりやすく解説するので、ぜひ読んでみてください。

正弦定理とは?どんな時に使う?

正弦とは三角比のsin(サイン)のことです。
つまり、「正弦定理はsinを使う定理」という意味になります。
それではsinを使って何を求める定理なのでしょうか

三角形の角のsin(正弦)と外接円の半径の関係を表した定理

上の図のように、三角形ABC(ある角と向かい合う辺の長さをそれぞれa,b,cとする)の外接円の半径をRとしたとき、ある角のsinとそれと向かい合う辺の長さとの間には次のような関係があります。

これを「正弦定理」と言います。
この式の意味は、「三角形の内角のsinとその角と向かい合う辺の長さの比はどの角でも一定」であること「ある辺の長さを向かい合う角のsinで割った値は外接円の半径の2倍になること」と覚えてください。
もしあなたが数学の問題を解いていて「外接円の半径を求めよ」という設問に出会ったり、他の辺の長さと別の角度がわかっている時に「sin∠BACの値を求めよ」と尋ねられたときは迷わず正弦定理を使ってください!

正弦定理の証明

正弦定理の証明は「円周角の定理」(円周角不変の定理)を用います。
簡単におさらいすると「ある円弧に対する円周角の大きさは中心角の半分で一定」という定理です。
例えば以下の図の緑色の角は、全て円弧BCに対する円周角なので全て同じ、赤色の角の半分の大きさです。
これを使って、∠Aの大きさに応じて3つに分けて証明していきます。

円周角の定理

∠Aの3つの場合について証明すればOK

∠Aを鋭角(90°未満)、直角、鈍角(90°より大きい)の3つの場合に分けて証明していきます。
三角形の角の角度は0°より大きく180°未満の範囲なので、この3つの場合全てで正弦定理がなりたてばあらゆる角度に対して正弦定理を証明したことになります。
また、∠Aについて証明することができれば、三角形の角という性質は∠B,∠Cに共通なので同様のやり方で証明できることになります。

また、正弦定理を証明する際には計算のしやすさから

を証明します。

∠Aが鋭角のとき

円周上に点Dを∠BCDが直角になるように置きます。
そうすると円周角の定理より∠A=∠Dです。
また、∠BCDが直角なので、線分BDは円の直径です。よってBD=2Rとなります。
三角形BCDは直角三角形なので、BC=BDsin∠Dです。
これらをまとめると
a=BC=2Rsin∠A
が成り立ち、正弦定理が導けました。

∠Aが直角のとき

∠Aが90°のときの証明は図からも分かる通りシンプルです。
sin∠A=1で、線分BCは円の直径なので長さが2Rです。
これらから
a=2Rsin∠A
が導けます。

∠Aが鈍角のとき

∠Aが鈍角のときは、鋭角のときのように∠BCDが直角、∠A=∠Dとなるような点Dを置くことができません。
そこで、線分BCを挟んでAと反対側に∠BCDが直角となるような点Dを置きます。
すると四角形ABCDは円に内接するので∠A+∠D=180°となります。
∠D=180°-∠Aなので、
sin∠D=sin(180°-∠A)=sin∠A
となります。
また、鋭角のときと同様に三角形BCDが直角三角形なので、
BC=BSsin∠DとBD=2Rが成り立ちます。
これらより
a=BC=2Rsin∠A
が成り立ち正弦定理の式を導くことができました。

正弦定理と余弦定理の使い分けは?

正弦定理と余弦定理、名前が似ていて使う場面も三角形の角度や長さを求めるときということで、どっちを使えばいいのかわからなくなることもありますよね。
そこで、これら2つの定理の使い分けの仕方を紹介します。

(参考)余弦定理とは?公式の使い方&証明を解説!センター過去問の解説付き

正弦定理を使うとき

・「外接円の半径」が出てきたとき
・2つの角度と1つの辺がわかっているとき

余弦定理を使うとき

・2つの辺と1つの角度から残りの1辺を求めるとき
・三角形の角度を求めるとき

まず、「外接円の半径」が出てきたときは真っ先に正弦定理を使おうと考えてください。
外接円の半径から三角形の辺や角度も、三角形の辺や角度から外接円の半径を求めることもどちらも可能です。
数学で外接円の半径という言葉を見かけたらとにかく正弦定理です!

また、正弦定理はその性質上角度を求めるのが苦手です。
0~180°の範囲において、あるsinの値に対応する角度は2つあるため、正弦定理を使って角度を求めたと思ったら解が2つ出てくる場合があるのです。
そこで、三角形の角度を求めたいと思ったらまずは余弦定理から入って見るようにしましょう。

この2つを押さえておくと、正弦定理と余弦定理の使い分けがし易いと思います。
ただし、次に見るセンター試験の過去問もそうですが、平面図形の問題であれば「どちらの定理も使う」ことが大半です。
どちらも確実に使いこなせるようにしましょう!

学習記録をつけて勉強をもっと効率的に!
受験生の3人に1人が使っているStudyplusで、勉強が続く!
無料会員登録
この記事を書いた人
あなたの勉強を後押しします。

関連するカテゴリの人気記事

平方根(ルート)の計算や問題の解き方を完璧に理解しよう!

因数分解のやり方・公式と解き方のコツ教えます!高校レベルまで対応!

二次方程式の解の公式・因数分解による解き方を解説!解の公式をマスター

部分分数分解の公式とやり方を解説!

三平方の定理が一瞬で理解できる!公式・証明から計算問題まで解説

二次関数のグラフの書き方と公式を使った最大値最小値問題の解き方!

関連するキーワード

スマホアプリで
学習管理をもっと便利に