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はじめに
一次関数とは「y=ax+b」で表される式のことです。
文字ばっかりで勉強したくなくなりますね。
おまけに変化の割合、傾き、変域なんていうよく分からない単語まで出てきます。
ただでさえやる気がでない、集中が続かないのに単語まで難しいと「ノー勉でもいいや」と思ってしまうかもしれません。
ですが諦めるのはまだ早い!
単語や見た目が難しそうなのは数学によくあることです。
友だちに教えてもらったり、実際に解いてみると数学の問題を簡単に理解できたなんて経験ありませんか?数学は、実際に計算してみると意外と理解できる科目なのです。
一次関数でもそんな体験ができます。
今回の記事では、
・「一次関数とは何だ？」という基礎的な説明
・実際にグラフや問題を使った解説
さらには
・高校入試問題・大学入試問題で扱われる一次関数の例の紹介
をします!
一次関数とは?
まずは難しそうな四文字熟語「一次関数」とは何かを見ていきましょう。
数学が難しく見えるのは教科書のややこしい日本語の説明のせいです。
「一次関数」がどういう式やグラフのことを示しているのかが分かれば、テスト勉強にもかなり挑みやすくなるはずです。
一次関数とは?
私が中学2年生で習った時は、
「一次関数」とは、
という数式のことだと割り切っていました。
そして「一次関数のグラフは直線を表すものである」ということも割り切っていました。
テストで点を取るには「一次って何？」「関数？」と悩むよりも、
「一次関数とはy=ax+bで表される数式のことだ」「一次関数は直線を表している」と割り切って問題を解くほうが効率良く点をとれます。
ここからは「一次」と「関数」の説明です。数学の言葉を理解したい人はじっくり読んで下さい。興味のない人は「へ〜」と思いながら読んで下さい。
「一次関数」の「一次」とは、変数(y=ax+bの式であればx)の「次数」が1であるということです。
「次数」とは、xが何回かけられているかを表す数字のことで、通常変数の右上に書かれます。何も書かれていなければ次数は1です。
例えば、
であれば二次
であれば五次です。
また、「関数」については
「xにある値を代入するとyの値も1つだけに決まる時、yはxの関数と言う。」
という決まりがあります。
「一次関数」とは、変数が「一次」の「関数」のことです。
中学2年生の時の私は「関数」の意味は分かりませんでしたが、後々高校生になってから「関数」がどういうものか分かるようになってきました。
最初のうちは分からなくても後々分かるようになることもありますので、「関数」の説明はまだ完璧に理解する必要はありません。
【まとめ】
・「一次関数」とは
と表される数式のこと。(右辺が一次の関数)
・一次関数のグラフは直線である。
一次関数で出てくる「変化の割合」とは？
一次関数の単元では「傾き」「変化の割合」などの単語をよく目にします。
問題文でも頻出なので、「傾き」「変化の割合」が何を表すのかを確実に理解しましょう。
まずは「変化の割合」から見ていきましょう。
「変化の割合」とは、ある関数についてxが「変化」したときに、yがどれくらい「変化」するかを割り算で表したもの(「割合」)になります。
(点から点への変化)
日本語の説明では分かりにくいので具体的な例で見ていきましょう。
早速、さっき学んだ一次関数y=ax+bを考えてみましょう。
一次関数y=3x+5について変化の割合を求めます。
この一次関数でxが3から5に増えたとします。
xは2増えてます。
x=3のとき、
y=3×3+5=14
x=5のとき、
y=3×5+5=20
となるのでyは14から20、つまり6増えてます。
xが2増えて、yが6増えているので、
になります。
変化の割合とは、
です。(定義、公式)
「変化量」とは、どれだけ変化したかを表した量なので、
で求めます。変化量は負の値になることもあるので注意してください。(変化量を増加量と呼ぶ場合もあります。)
日本語の説明で見ると文字が多くてややこしいですが、実際にする計算は
だけです。
日本語ばかりの説明でわかりにくかったと思います。
イメージを掴むために、もう1問変化の割合について問題を見てみましょう。
一次関数y=-3x+5について見てみましょう。
xが-3から2に変化したとします。
xは5増えてます。
x=-3のとき、
y=-3×(-3)+5=14
x=2のとき、
y=-3×2+5=-1
となるのでyは14から-1、つまり-15増えてます。(15減っています。)
xが5増えて、yが-15増えているので、
ここで、
「変化の割合って、xの値によって変わるの?それとも、同じ一次関数ならどんなxの値でも同じなの？」
と考えることができていたらとても鋭い方です。
私は先生に言われるまでこんなこと考えもしませんでした。
変化の割合が同じ一次関数についてxの値を変えることでどうなるのか見ていきましょう。
一次関数y=-3x+5について、x=3からx=8まで変化したとして変化の割合を求めてみましょう。
上で求めた変化の割合は-3でした。
x=3のとき、y=-3×3+5=-4
x=8のとき、y=-3×8+5=-19
xの値を変えても変化の割合は同じになりました。
結論を言うと、同じ一次関数についてであればxをどんな値にしようと変化の割合は同じです。
証明は後述します。
【まとめ】
・変化の割合とは、ある関数についてxが変化したときにyがどれくらい変化するかを分数で表したもの
・同じ一次関数についてであれば変化の割合は同じ
一次関数の傾きとは？
一次関数の「傾き」は、
のaのことです。
xの前についている数字のことで、aの絶対値が大きくなればなるほど一次関数のグラフ(直線)が急になり、aの絶対値が小さくなればなるほど一次関数のグラフは緩やかになります。
a=1,b=3とすると、y=x+3
この一次関数のx=1のときのyの値は4
a=2,b=3とすると、y=2x+3
この一次関数のx=1のときのyの値は5
xが同じ値でもaの絶対値が大きいほどyの絶対値も大きくなり、グラフが急になります。
グラフの傾きを左右する数字だから、「傾き」と呼ばれています。
また、グラフの傾き・緩急は直線のグラフの横と縦の比率とも言えます。
変化の割合と傾き？？
それでは、「変化の割合」と「傾き」の関係性について見ていきましょう。
一般的な関係性を求めるときには、具体的な数字ではなく文字を使って計算します。
一次関数y=ax+bについて、xがsからtに変化したときの変化の割合を求めてみましょう。(s≠t)
このときのxの変化量は、
yの変化量は、
よって
つまり一次関数では、
変化の割合(xが変化したときにどれくらいyが変化するかを分数で示した値)
と
傾き(直線のグラフの横と縦の比率)
が同じなのです。
そしてxやyなどの変数を含んでいないので、同じ一次関数であればxやyがどう変わっても変化の割合は変わりません。
◎一次関数の変化の割合と傾きは同じものを表す!!!!
さっき見た問題で変化の割合と傾き関係を見てみましょう。
y=3x+5の変化の割合は、xの値に関わらず3でした。
y=-3x+5の変化の割合はxの値に関わらず-3でした。
実際に傾きと同じ値になっています。
◎一次関数では「変化の割合」と「傾き」が同じものを表します。
二次関数
については「変化の割合」とa(二次関数の曲がり具合を表す)が一致しません。
一次関数のグラフの書き方の手順解説!
ここからは一次関数のグラフの書き方を解説します。
一次関数のグラフを書くのが苦手な方でも、ここで説明する手順を見れば誰でもグラフを書けるようになります!
一次関数のグラフは直線になります。
式を満たすxとyの組み合わせを座標平面上に記したものを繋げてみると直線になることがわかります。
一次関数(比例の式)y=ax(a≠0)のグラフの書き方の手順
①x軸とy軸、原点を書きます。
この3つが書かれていないと大学入試の記述問題などでは減点される場合があります。
また、x軸とy軸、原点を書くことでグラフが見やすくなり、問題を解くヒントにもなります。
x軸、y軸、原点の3つを書くことを習慣にしましょう。(これまでの説明では省略してしまいましたが…)
②y=axは必ず原点を通ります(x=0のときy=0)。原点を通り、a>0のときは右上がり、a<0のときは右下がりの直線を書きます。【完成】
【a>0,aの値によって傾きが変わる】
【a<0,aの値によって傾きが変わる】
実際に一次関数y=axのグラフを書いてみましょう!
【例題】
y=2x
直線を書くときには、二点を結びます。
なので原点と、原点以外の通る点を結べばグラフは書けます。
y=2xは、原点以外に(1,2)を通ります。
(原点以外の通る点を見つけるときにはxに±1、±2を代入すれば分かりやすくなります。)
【x軸、y軸、原点を書く】
【原点と通る点を結ぶ】
【例題】
y=-4x
原点以外の通る点を見つけましょう。
x=1を代入すると(1,-4)を通ります。
【x軸、y軸、原点を書く】
【原点と通る点を結ぶ】
一次関数y=ax+bのグラフの書き方の手順
①x軸、y軸、原点を書く
②一次関数y=ax+bは必ず点(0,b)を通ります(x=0のときy=b)。y軸上にbの値を記入します。
このときbをy切片と呼びます。
③もう一点、y=ax+bが通る点を見つけます。(s,as+b)とします。
(0,b)(s,as+b)の二点を結ぶことでy=ax+bの直線が引けます。
もう一点見つける時は、x=±1、±2あたりを調べると分かりやすくなります。
実際に一次関数y=ax+bのグラフを書いてみましょう!
【例題】
y=2x+3
y切片は3です。
x=1を代入して、(1,5)を通ります。
【x軸、y軸、原点を書く】
【y切片を書く】
【y切片と通る点を結ぶ】
変域を持つ一次関数y=ax+bのグラフの書き方と手順
①まずはy=ax+bのグラフを書く
②イコールがある場合は黒丸、無い場合は白丸
例として1≦x≦3、1＜x＜3
一次関数の式の求め方
一次関数の式が分からないとグラフも書けません。
一次関数の式を求めるとは、傾きや通る点などの情報からy=ax+bのaとbを求めることです。
ここでは問題のパターンと式の求め方、問題の解き方を解説します。
問題パターンは2つありますが、どちらの問題でもまず最初に求める式を
とおいてください。
これが一次関数の式を求めるコツです。
【パターン1】傾きと直線が通る一点から一次関数の式を求める場合
【例題】
傾きが2で、(3,8)を通る直線の式を求めなさい。
【解説】
まずは求める式を
とおきます。
傾きが2なのでa=2です。よって求める式は
となります。
(3,8)を通るので上の式にx=3,y=8を代入して
よって求める式は
と求められます。
【パターン2】直線が通る二点から一次関数の式を求める場合
【例題】
二点(2,9)(4,15)を通る直線の式を求めなさい。
【解説】
まずは求める式を
とおきます。
(2,9)を通るのでxに2、yに9を代入します。
(4,15)を通るのでxに4、yに15を代入します。
(ⅱ式)−(ⅰ式)より、
求める式は
この問題にはもう一つ解き方があります。
【別解】
二点が分かっているので、先に変化の割合を求めることができます。
(2,9)(4,15)を通るので、
先に変化の割合を求めることでパターン1と同じ解き方ができるようになります。
後はⅲ式に(2,9)(4,15)のどちらかを代入すると答えが求まります。
【まとめ】
一次関数の式を求める場合は求める式を
とおく。
一次関数の問題を解いてみよう!解き方を解説します!
ここからは例題中心の内容になります。
グラフと式に関する問題
【問題】
二点(1,5)(5,17)を通る直線の式を求め、グラフを書きなさい。
【解説】
求める式を
とおく。
(1,5)を通るので、
(5,17)を通るので
二式を連立させると
求めるグラフは、(1,5)と(5,17)を結べば書けますが、y切片は確実に記すようにしましょう。
一次関数の変域を求める問題
【問題】
y=3x+2について、xの変域が2≦x≦5のときのyの変域を求めなさい。
【解説】
変域問題のときは、必ず図を書いて考えましょう。
図を書けばすぐに解けます。
x=2のとき、y=8
x=5のとき、y=17
よって、8≦y≦17
この問題ではxが最も小さいときにyも最も小さく、xが最も大きい時にyも最も大きくなります。
このようにxの変域とyの変域の両端が対応しているときは間違えることは少ないですが、次の問題どうでしょうか。
【問題】
直線y=-3x+2について、xの変域が-3≦x≦5のとき、yの変域を求めなさい。
【解説】
まずは図を書きましょう。
x=-3のとき、y=11
x=5のとき、y=-13
よって、-13≦y≦11
xが最も小さいときにyは最も大きく、xが最も大きいときにyは最も小さくなります。
図を書かないと、変域の左右を入れ替えて書いてしまうミスをしてしまうことがあります。
一次関数では間違えることは少なくても、中学三年や高校で習う二次関数では図を書かないと変域問題を間違えることが多くなります。
今のうちに図を書く癖をつけておきましょう。
変域から一次関数の式を求める問題
問題文で変域を与えられて、一次関数の式を求める問題もあります。
【問題】
直線y=ax+bについて、変域が2≦x≦6のときyの変域が8≦x≦20である。このときaとbの値を求めよ。
【解説】
まず最初に気をつけなければいけないことは、
aの正負が与えられていないということです。
こんなときは、場合分けになります。
そして、変域問題なので図を書きましょう。
問題文で変域が与えられているので、図示します。
a＞0のときは右上がりの直線になるので(2,8)(6,20)を通る直線になります。
a＜0のときは右下がりの直線になるので(2,20)(6,8)を通る直線になります。
ここまで分かれば二点から直線の式を求める解き方で答えを求めることができます。
a＞0のとき、y＝3x＋2
a＜0のとき、y＝−3x＋26
一次関数の利用
一次関数の利用の単元では、長方形の辺の上を点が動くという問題が典型的なので、この記事でも解説します。
【問題】
AB＝3cm、BC＝5cmの長方形ABCDの辺の上を、毎秒1cmで点KがA→B→C→Dのように動くとする。出発からx秒後の△AKDの面積をycm2とする。
yとxの関係をグラフに表しなさい。
三角形の面積を求めるには底辺と高さの値が必要です。
今回の問題設定では底辺は不変ですが、高さが点Kの位置によって異なるため場合分けが必要になります。その際、xの変域で場合分けを表すことが多いです。
高さを文字xで表すことでyとxのグラフを書くことができます。
ここで注意すべきなのは、出発からの時間が変数xと設定されているところです。
ある点が動く(動点)問題では、頭のなかのイメージだけで問題を解くのは難しいです。
実際に自分で図を書いて点を図上で動かして場合分けを考えてみてください。
【解説】
今回の問題では、場合分けは三通りになります。
場合分けが何通りになるかは、すぐに分かるものではなく図を書きながら理解するものです。
(ⅰ)点Kが辺AB上にあるとき
1秒で1cm進むので、Kが辺AB上にあるのは最初の3秒間です。
つまり、0≦x≦3
△AKDの高さはAKの長さなので、xcm
△AKDの底辺は辺ADなので長さは5cm
よって
(ⅱ)点Kが辺BC上にあるとき
Kが頂点Bに到達するのはスタートの3秒後、頂点Cに到達するのはスタートの8秒後なので3≦x≦8
このときは、底辺は辺ADで5cm
辺BC上を点Kが移動する間は三角形の頂点を平行移動させていることになるので、高さは不変の3cm
よって
(ⅲ)点Kが辺CD上にいるとき
出発からの時間をxと設定されていることに注意しなくてはいけないのは、点Kが辺CD上にいるときです。
三角形の高さを表す時に図で考えることで、この設定でもミスを無くすことができます。
辺CD上に点K がいる時間は、8≦x≦11
高さとなるのはDKの長さです。
DK=x-3-5
=x-8
底辺はAD=6
よって、
これらをxの変域ごとに書けば答えとなります。
二直線の交点を求める問題
【問題】
y=3x+2(直線①)とy=4x+6(直線②)の交点の座標を求めなさい。
【解説】
二直線の交点を求める場合は、二式を連立させて(イコールで結ぶ)方程式を解けばx座標が出ます。
交点を求めるということは、直線①のy座標と直線②のy座標の値が一致する点を見つけることと同じなので、
y(直線①)=y(直線②)
3x+2=4x+6
x=-4
x=-4を①または②に代入して
y=-10
よって交点の座標は(-4,-10)
高校入試・大学受験における一次関数
一次関数は中学2年生で最初に習いますが、その後も高校入試や大学入試で出題されます。
実際に出題された問題を見てみましょう。
都立高校入試問題に見る一次関数(一次関数と図形、二次関数)
都立高校入試問題第3問では、二乗に比例する関数(二次関数の基本)か一次関数のどちらかが出題される傾向にあります。また、一次関数と二次関数の融合問題が出題される場合があります。
一次関数が出題された平成27年度の問題では、第3問(1)(2)は一次関数単体、(3)は一次関数と平面図形の融合問題です。
より引用。
平成25年度の問題では、第3問(2)で二次関数と一次関数の融合問題が出題されています。
大学入試問題に見る一次関数
大学入試問題でも一次関数が出題されることはあります。
【平成28年度センター試験本試数学1A】
多くの場合は二次関数や三次関数との融合問題として出題されます。
二次関数や三次関数との交点や接点を求めることが基本となります。
直線同士の交点を求めるときと同じく、関数を表す方程式を連立させることで交点を求めることができます。
中学2年生で習う内容が入試においてどれほど重要になるか、理解できたのではないでしょうか。
基本だからといって侮ってはいけません。
最後に
今回の記事では、
・一次関数とは何か
・一次関数のグラフの書き方
・一次関数の式の求め方
・一次関数の問題とその解説
・高校入試・大学入試における一次関数の重要性
を見てきました。
この記事を読んで一次関数を理解した後、あなたが自分で問題演習に励み、苦手だった一次関数を得意分野にしてくれることを願っています。
