一次関数の利用を解説!グラフの書き方や解き方を知り入試に活かそう!

この記事は最終更新日から1年以上が経過しています。内容が古くなっているのでご注意ください。

一次関数の問題を解いてみよう!解き方を解説します!

ここからは例題中心の内容になります。

グラフと式に関する問題

【問題】

二点(1,5)(5,17)を通る直線の式を求め、グラフを書きなさい。

【解説】

求める式を

とおく。
(1,5)を通るので、

(5,17)を通るので

二式を連立させると

求めるグラフは、(1,5)と(5,17)を結べば書けますが、y切片は確実に記すようにしましょう。

一次関数の変域を求める問題

【問題】

y=3x+2について、xの変域が2≦x≦5のときのyの変域を求めなさい。

【解説】

変域問題のときは、必ず図を書いて考えましょう。
図を書けばすぐに解けます。

x=2のとき、y=8
x=5のとき、y=17
よって、8≦y≦17

この問題ではxが最も小さいときにyも最も小さく、xが最も大きい時にyも最も大きくなります。
このようにxの変域とyの変域の両端が対応しているときは間違えることは少ないですが、次の問題どうでしょうか。

【問題】

直線y=-3x+2について、xの変域が-3≦x≦5のとき、yの変域を求めなさい。

【解説】

まずは図を書きましょう。

x=-3のとき、y=11
x=5のとき、y=-13
よって、-13≦y≦11

xが最も小さいときにyは最も大きく、xが最も大きいときにyは最も小さくなります。
図を書かないと、変域の左右を入れ替えて書いてしまうミスをしてしまうことがあります。

一次関数では間違えることは少なくても、中学三年や高校で習う二次関数では図を書かないと変域問題を間違えることが多くなります。
今のうちに図を書く癖をつけておきましょう。

変域から一次関数の式を求める問題

問題文で変域を与えられて、一次関数の式を求める問題もあります。

【問題】

直線y=ax+bについて、変域が2≦x≦6のときyの変域が8≦x≦20である。このときaとbの値を求めよ。

【解説】

まず最初に気をつけなければいけないことは、
aの正負が与えられていないということです。
こんなときは、場合分けになります。

そして、変域問題なので図を書きましょう。
問題文で変域が与えられているので、図示します。

a>0のときは右上がりの直線になるので(2,8)(6,20)を通る直線になります。
a<0のときは右下がりの直線になるので(2,20)(6,8)を通る直線になります。

ここまで分かれば二点から直線の式を求める解き方で答えを求めることができます。
a>0のとき、y=3x+2
a<0のとき、y=−3x+26

一次関数の利用

一次関数の利用の単元では、長方形の辺の上を点が動くという問題が典型的なので、この記事でも解説します。

【問題】

AB=3cm、BC=5cmの長方形ABCDの辺の上を、毎秒1cmで点KがA→B→C→Dのように動くとする。出発からx秒後の△AKDの面積をycm2とする。
yとxの関係をグラフに表しなさい。

三角形の面積を求めるには底辺と高さの値が必要です。
今回の問題設定では底辺は不変ですが、高さが点Kの位置によって異なるため場合分けが必要になります。その際、xの変域で場合分けを表すことが多いです。

高さを文字xで表すことでyとxのグラフを書くことができます。
ここで注意すべきなのは、出発からの時間が変数xと設定されているところです。

ある点が動く(動点)問題では、頭のなかのイメージだけで問題を解くのは難しいです。
実際に自分で図を書いて点を図上で動かして場合分けを考えてみてください。

【解説】

今回の問題では、場合分けは三通りになります。
場合分けが何通りになるかは、すぐに分かるものではなく図を書きながら理解するものです。

(ⅰ)点Kが辺AB上にあるとき

1秒で1cm進むので、Kが辺AB上にあるのは最初の3秒間です。
つまり、0≦x≦3
△AKDの高さはAKの長さなので、xcm
△AKDの底辺は辺ADなので長さは5cm
よって

(ⅱ)点Kが辺BC上にあるとき

Kが頂点Bに到達するのはスタートの3秒後、頂点Cに到達するのはスタートの8秒後なので3≦x≦8
このときは、底辺は辺ADで5cm
辺BC上を点Kが移動する間は三角形の頂点を平行移動させていることになるので、高さは不変の3cm
よって

(ⅲ)点Kが辺CD上にいるとき

出発からの時間をxと設定されていることに注意しなくてはいけないのは、点Kが辺CD上にいるときです。
三角形の高さを表す時に図で考えることで、この設定でもミスを無くすことができます。

辺CD上に点K がいる時間は、8≦x≦11

高さとなるのはDKの長さです。
DK=x-3-5
=x-8
底辺はAD=6
よって、

これらをxの変域ごとに書けば答えとなります。

二直線の交点を求める問題

【問題】

y=3x+2(直線①)とy=4x+6(直線②)の交点の座標を求めなさい。

【解説】

二直線の交点を求める場合は、二式を連立させて(イコールで結ぶ)方程式を解けばx座標が出ます。
交点を求めるということは、直線①のy座標と直線②のy座標の値が一致する点を見つけることと同じなので、

y(直線①)=y(直線②)
3x+2=4x+6
x=-4
x=-4を①または②に代入して
y=-10
よって交点の座標は(-4,-10)

高校入試・大学受験における一次関数

一次関数は中学2年生で最初に習いますが、その後も高校入試や大学入試で出題されます。
実際に出題された問題を見てみましょう。

都立高校入試問題に見る一次関数(一次関数と図形、二次関数)

都立高校入試問題第3問では、二乗に比例する関数(二次関数の基本)か一次関数のどちらかが出題される傾向にあります。また、一次関数と二次関数の融合問題が出題される場合があります。

一次関数が出題された平成27年度の問題では、第3問(1)(2)は一次関数単体、(3)は一次関数と平面図形の融合問題です。

平成27年度都立高等学校入学者選抜 学力検査問題及び正答表

より引用。

平成25年度の問題では、第3問(2)で二次関数と一次関数の融合問題が出題されています。

平成25年度都立高等学校入学者選抜 学力検査問題及び正答表

大学入試問題に見る一次関数

大学入試問題でも一次関数が出題されることはあります。
【平成28年度センター試験本試数学1A】

大学入試センターホームページ-平成28年度本試験の問題

多くの場合は二次関数や三次関数との融合問題として出題されます。
二次関数や三次関数との交点や接点を求めることが基本となります。
直線同士の交点を求めるときと同じく、関数を表す方程式を連立させることで交点を求めることができます。

中学2年生で習う内容が入試においてどれほど重要になるか、理解できたのではないでしょうか。
基本だからといって侮ってはいけません。

最後に

今回の記事では、
・一次関数とは何か
・一次関数のグラフの書き方
・一次関数の式の求め方
・一次関数の問題とその解説
・高校入試・大学入試における一次関数の重要性
を見てきました。
この記事を読んで一次関数を理解した後、あなたが自分で問題演習に励み、苦手だった一次関数を得意分野にしてくれることを願っています。

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この記事を書いた人
慶應義塾大学 理工学部に通っています。1人旅が趣味で、得意科目は数学と英語です!

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