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【指数関数】グラフや微分積分公式、基本計算問題を解説!

はじめに

高校数学もいよいよ数学2に入り、かなり難しいと感じるようになってきたのではないでしょうか。大学受験の頻出単元も多く出てきています。現在私が通っている慶應義塾大学理工学部の入試問題でも実際に数学2の単元から出題されています。

数学2の中でも、今回は指数関数に焦点を当ててみましょう。
指数関数の単元では指数や底などの難しそうな単語、数字の右肩に数字が乗っている見慣れない数字がどんどん出てきます。
ですがこれもまた数学という科目が得意とする、難しそうに「見せる」技なのです。
教科書の難しい日本語に騙されてはいけません。
教えてもらいながら自分の手で計算して数学の問題を解いてみると、「何だこんな簡単なことだったのか」と思うことはありませんか?
指数関数でも同じことが体験できます。

本記事で指数や底などの言葉の定義を分かりやすく説明します。
また、グラフの書き方や指数関数の典型的な問題の解き方も解説しています。
ぜひ、指数関数に対して苦手意識を払拭し、確実に点を取れるようにしましょう!

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指数関数とは?

14717295?w=430

まずは、「指数関数」「底」という単語が何を表すかを理解していきましょう。

指数関数とは?

指数関数とは、

16779598?w=430

と表される式のことを言います。(定義)


※言葉の説明
「指数」の「関数」なので、指数部分が変数になったものを「指数関数」と呼びます。
「関数」とは、1つの変数(ここではx)の値が決まるともう1つの変数(ここではy)の値も一つに決まるものを指します。


そして実数aを、「底」と呼びます。

a=1だとxがどんな数字になってもyの値は常に1なのでここではa≠1の場合を考えます。

また、なぜaは正でなくてはいけないのかを
a=-1、x=0.5の場合を例に説明します。

16779636?w=430

と式変形でき、ルートの中身が負になってしまうのでyの値が実数ではなくなってしまいます。(指数の計算法則については後ほど紹介するので、ここでは参考程度に見てください。)
yが実数でなくなるとxy座標平面上で表すことができなくなるため、ここではaが正の場合のみ扱います。

aが正なので、xがどんな値になってもyは正です。

【重要】

・指数関数とは

16779652?w=430

と表される式のこと。

・指数関数の「底」とは、aのこと。
・底aは正の実数であり、a≠1の場合を考えることが多い。
・(ⅰ)式においてxがどんな値でもyは正

指数計算で知っておくべき指数の計算法則

指数計算では従うべきルール【指数法則】があります。
時間をかければ理解できるルールなのですが、計算するときには時間をかけていられないので、定期テストやセンター試験で点を取るためには覚えてしまいましょう。

指数法則を覚えたら(=インプット)、実際に計算練習して(=アウトプット)迷うことなく指数計算できるようにしましょう。

最初に文字で説明しますが、分かりにくければ例題を見ると理解できると思います。

指数法則①

16779729?w=430

16779734?w=430

とは、aをs個かけたものです。

16779736?w=430

とは、aをt個かけたものです。

「aをs個かけたもの」に、「aをt個かけたもの」をかけるので、
全体としてaを(s+t)個かけたものになります。

【例題】

16779749?w=430

この法則に従えば、

16779828?w=430

と計算できるので、

16779829?w=430

というルールも成立します。

指数法則②

16779833?w=430

「aをs個かけたもの」をt回かけるので、aをst回かけたものになります。

【例題】

16779849?w=430

指数法則③

16779886?w=430

指数法則①でt=-sとすると、

16779896?w=430

と計算できるので、

16779887?w=430

というルールが成立します。

【例題】

16779914?w=430

指数法則④

16779923?w=430

指数法則②でt=1/sとすると、

16779958?w=430

と計算できるので、

16779925?w=430

というルールが成立します。

順番を入れ替えると理解しやすくなります。

16779962?w=430

つまり

16779965?w=430

をs回かければaになります。

【例題】

16779986?w=430

【まとめ】

指数法則は理解できるように自分で整理しないと、混乱してしまいます。
文字で覚えるか具体例で覚えるか自分に合う覚え方をしましょう。

私は具体例で覚えていました。

・指数法則①

16780039?w=430

・指数法則②

16780042?w=430

・指数法則③

16780044?w=430

・指数法則④

16780048?w=430

指数関数・対数関数のグラフ

14712188?w=430

16780058?w=430

を満たす点を滑らかに繋げると指数関数のグラフになり、

16780087?w=430

を満たす点を滑らかに繋げると対数関数のグラフになります。

毎回調べて書くわけにもいかないので形は覚えてしまいましょう。

底の範囲によって指数の大小関係は異なるので、指数関数のグラフは0<(底)<1か(底)>1によって形が変わります。

指数関数のグラフ

(底)>1のとき

16780124?w=430

0<(底)<1のとき

16780127?w=430

【グラフの性質】

グラフの性質について、言葉で説明すると下のようになります。

・(底)>1、0<(底)<1どちらの場合でも

16780177?w=430

の漸近線はx軸になります。

漸近線とは、十分遠いところ(xy平面ではx→±∞もしくはy→∞)で、曲線との距離が限りなく0に近づくが決して一致することはない直線のことです。

16780180?w=430

についてa>1のときと0<a<1のときでy軸対称になります。

・a>1のとき、指数関数は単調増加します。
 (xの値が増えるに連れてyの値も増える)
 
・0<a<1のとき、指数関数は単調減少します。
(xの値が減るに連れてyの値も減る)

指数関数と対数関数のグラフの関係

a>1のとき

16780182?w=430

0<a<1のとき

16780184?w=430

指数関数と対数関数のグラフはy=xに関して対称になります。
これは、2つの関数がyとxを入れ替えた関係になっていることを示しています。(詳しくは数学3の範囲になります。)

0<(底)<1の場合、指数関数と対数関数はy=x上で交わります。

指数関数の微分・積分の公式紹介(数学3)

15706680?w=430

指数関数の微分積分は、多項式とは異なる形をしています。
また、導出には時間がかかるため、公式を覚えてしまいましょう。

この記事では、指数関数の微分積分については公式の紹介のみとなっています。
実際の微分積分の問題では、公式の見た目が異なるだけで解き方は共通しています。
微分積分の考え方については

微分積分の意味や公式をわかりやすく解説!基礎から大学受験まで

を参考にしてみてください。

指数関数の微分積分公式紹介

【指数関数の微分】

正の実数aについて、

16780236?w=430

の微分形は

16780252?w=430

となります。

ここで対数の底はネイピア数eという数字を使っています。
底が書かれていない場合はネイピア数を底に用いた自然対数である場合がほとんどです。
本記事でも、底を書いていない場合は自然対数とします。

ネイピア数の性質として、

16780257?w=430

の微分形が

16780261?w=430

となり、微分しても形が変わらないという不思議な性質があります。

【指数関数の積分形】

正の実数aについて、

16780267?w=430

の積分形は

16780291?w=430

となります。

を積分しなくてはいけないことが何度もあるので確実に覚えてください。

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指数関数の問題を解いてみよう!

15182668?w=430

数学は、基本事項を理解した後に実際に自分で解くことで理解できるようになります。
ここで練習問題を解いてみましょう。

指数の計算

多項式の単元で習った対称式の応用問題として指数計算の問題があります。

【問題】

16780345?w=430

【解説】

多項式の対称式

16780403?w=430

16780767?w=430

16780769?w=430

となります。

ここで注目すべきなのは対称式では2xyの部分で指数が±で打ち消し合うため、0乗になり文字を含まない定数(具体的な数字)で表されます。

この問題ではtに1/3を代入することで求める式の形になります。

16780865?w=430

指数の大小比較

指数では、0<(底)<1のときと(底)>1のときで数字の大小が異なることに注意してください。

【問題】

16780911?w=430

指数の大小比較の問題では解き方は3パターンあります。

0<(底)<1のときは
①底を統一して、指数が大きいものほど小さい(※)
②指数を統一して、底が小さいものほど小さい
③全部の数字を何乗かして整数にして、整数の大きさで比較する

(底)>1のときは
①底を統一して、指数が大きいものほど大きい(※)
②指数を統一して、底が小さいものほど小さい
③全部の数字を何乗かして整数にして、整数の大きさで比較する

(※)底の範囲で大小が入れ替わる

ここでは、底を統一する方法で解き進めてみましょう。
「なんとなく底を2で揃えられそうだな」と思ったからです。
これで解けなければ他の方法を試してみましょう。
問題演習を何度もしているうちに、文章を読んだだけで適切な解答の方針を選べるようになります。

16781012?w=430

16781014?w=430

2>1なので、(底)>1です。
よって指数の大小がそのまま数字の大小になります。

16781076?w=430

16781088?w=430

指数方程式

【指数方程式】

指数方程式の解き方は2つあり、

・底を揃えて、指数部分だけで式を作る方法

・置き換え

16781115?w=430

をして簡単な方程式に変える方法
になっています。

ここでは、置き換えの方法を練習してみましょう。

16781160?w=430

【解説】

置き換えをするには、変数を含む項に共通した

16781108?w=430

を見つけなくてはなりません。
まずは式変形をしていきましょう。
ここでは

16781167?w=430

がうまく使えそうです。

16781222?w=430

16781245?w=430

16781268?w=430

と解くことができます。

指数不等式

指数不等式も置き換えで解く場面が多くなりますが、
底の条件がかなり重要になってきます。

指数の形のまま大小比較するときには、
0<(底)<1のときと(底)>1の場合で大小関係が異なることに要注意です。

【指数】

16781345?w=430

16781347?w=430

指数方程式のときと同じ形の式を用いて練習してみましょう。

式自体は指数方程式のときと同じなので、置き換え後まで途中式は省きます。

【例題】

16781354?w=430

【解説】

16094938?w=430

16094942?w=430

となります。

指数関数の最大・最小

指数関数の最大値・最小値問題も置き換えを利用して二次関数として解きます。

ここでは紹介しない問題で、相加相乗平均の関係を用いて解く問題もあります。

【例題】

16095021?w=430

まずは式を見やすいように変形します。

16095040?w=430

17023966?w=430

図より、

16095129?w=430

大学入試問題における指数関数

14971555?w=430

関数関数も大学入試に出題されます。実際に使用された問題をセンター試験や2次試験の過去問を紹介します。

センター試験にみる指数関数

平成28年度本試験数学2Bの第1問に指数・の式変形、グラフが出題されていました。
センター試験は誘導がついているので問題自体は難しくありません。実際に解いてみてください。

16095174?w=430

大学入試センターウェブサイト-平成28年度本試験の問題

より引用。

平成27年度の問題では指数方程式や相加相乗平均の関係を用いた指数関数の最小値問題が出題されています。

16095198?w=430

大学入試センターウェブサイト-平成27年度本試験の問題

より引用。

二次試験にみる指数関数

平成27年度の東京大学入試問題第3問に指数関数・対数関数の問題が出ています。

16095293?w=430

東京大学ウェブサイト-過去問題

より引用。

数学3では、関数を回転させてできる立体の体積を求める問題が多くなっています。
指数関数もその例外ではありません。
頭の中で回転体を想像したり、実際に図を書くことでだんだん解けるようになって来ます。

また、数学3では微分積分の問題で指数関数が扱われることも多くなっています。
上述した指数関数の微分積分公式は忘れやすいので、思いがけない時に出題されて公式が思い出せないことがないように確実に覚えてください。

指数関数も十分大学入試で問題となりうることが分かってもらえたのではないでしょうか。

最後に

15452530?w=430

今回の記事では

・指数関数とは何か
・指数関数のグラフ
・指数関数の微分積分の公式
・指数関数の例題
・センター試験、二次試験における指数関数

という観点で解説してきました。

ですが、これで指数関数全てを網羅しているわけではありません。
この記事で指数関数の基本的なイメージを掴んでもらい、苦手意識を無くすことで応用問題に挑んでみてください!

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この記事を書いた人
14720526?w=72
慶應義塾大学 理工学部に通っています。1人旅が趣味で、得意科目は数学と英語です!

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