【指数関数とは】グラフや微分積分公式。計算問題の解き方

この記事は最終更新日から1年以上が経過しています。内容が古くなっているのでご注意ください。

指数関数の問題を解いてみよう!

数学は、基本事項を理解した後に実際に自分で解くことで理解できるようになります。
ここで練習問題を解いてみましょう。

指数の計算

多項式の単元で習った対称式の応用問題として指数計算の問題があります。

【問題】

【解説】

多項式の対称式

となります。

ここで注目すべきなのは対称式では2xyの部分で指数が±で打ち消し合うため、0乗になり文字を含まない定数(具体的な数字)で表されます。

この問題ではtに1/3を代入することで求める式の形になります。

指数の大小比較

指数では、0<(底)<1のときと(底)>1のときで数字の大小が異なることに注意してください。

【問題】

指数の大小比較の問題では解き方は3パターンあります。

0<(底)<1のときは
①底を統一して、指数が大きいものほど小さい(※)
②指数を統一して、底が小さいものほど小さい
③全部の数字を何乗かして整数にして、整数の大きさで比較する

(底)>1のときは
①底を統一して、指数が大きいものほど大きい(※)
②指数を統一して、底が小さいものほど小さい
③全部の数字を何乗かして整数にして、整数の大きさで比較する

(※)底の範囲で大小が入れ替わる

ここでは、底を統一する方法で解き進めてみましょう。
「なんとなく底を2で揃えられそうだな」と思ったからです。
これで解けなければ他の方法を試してみましょう。
問題演習を何度もしているうちに、文章を読んだだけで適切な解答の方針を選べるようになります。

2>1なので、(底)>1です。
よって指数の大小がそのまま数字の大小になります。

指数方程式

【指数方程式】

指数方程式の解き方は2つあり、

・底を揃えて、指数部分だけで式を作る方法

・置き換え

をして簡単な方程式に変える方法
になっています。

ここでは、置き換えの方法を練習してみましょう。

【解説】

置き換えをするには、変数を含む項に共通した

を見つけなくてはなりません。
まずは式変形をしていきましょう。
ここでは

がうまく使えそうです。

と解くことができます。

指数不等式

指数不等式も置き換えで解く場面が多くなりますが、
底の条件がかなり重要になってきます。

指数の形のまま大小比較するときには、
0<(底)<1のときと(底)>1の場合で大小関係が異なることに要注意です。

【指数】

指数方程式のときと同じ形の式を用いて練習してみましょう。

式自体は指数方程式のときと同じなので、置き換え後まで途中式は省きます。

【例題】

【解説】

となります。

指数関数の最大・最小

指数関数の最大値・最小値問題も置き換えを利用して二次関数として解きます。

ここでは紹介しない問題で、相加相乗平均の関係を用いて解く問題もあります。

【例題】

まずは式を見やすいように変形します。

図より、

大学入試問題における指数関数

関数関数も大学入試に出題されます。実際に使用された問題をセンター試験や2次試験の過去問を紹介します。

センター試験にみる指数関数

平成28年度本試験数学2Bの第1問に指数・の式変形、グラフが出題されていました。
センター試験は誘導がついているので問題自体は難しくありません。実際に解いてみてください。

大学入試センターウェブサイト-平成28年度本試験の問題

より引用。

平成27年度の問題では指数方程式や相加相乗平均の関係を用いた指数関数の最小値問題が出題されています。

大学入試センターウェブサイト-平成27年度本試験の問題

より引用。

二次試験にみる指数関数

平成27年度の東京大学入試問題第3問に指数関数・対数関数の問題が出ています。

東京大学ウェブサイト-過去問題

より引用。

数学3では、関数を回転させてできる立体の体積を求める問題が多くなっています。
指数関数もその例外ではありません。
頭の中で回転体を想像したり、実際に図を書くことでだんだん解けるようになって来ます。

また、数学3では微分積分の問題で指数関数が扱われることも多くなっています。
上述した指数関数の微分積分公式は忘れやすいので、思いがけない時に出題されて公式が思い出せないことがないように確実に覚えてください。

指数関数も十分大学入試で問題となりうることが分かってもらえたのではないでしょうか。

最後に

今回の記事では

・指数関数とは何か
・指数関数のグラフ
・指数関数の微分積分の公式
・指数関数の例題
・センター試験、二次試験における指数関数

という観点で解説してきました。
覚えてほしいポイントはグラフの書き方と微分積分の公式です。
この2点を覚えれば、指数関数の苦手意識を無くせるでしょう。
この記事にある指数関数の基本計算問題の解き方を覚えたら、応用問題にも挑戦してみてください。一歩一歩成長していき指数関数は怖くないと思える日が来ることを願っています。

学習記録をつけて勉強をもっと効率的に!
受験生の3人に1人が使っているStudyplusで、勉強が続く!
無料会員登録
この記事を書いた人
慶應義塾大学 理工学部に通っています。1人旅が趣味で、得意科目は数学と英語です!

関連するカテゴリの人気記事

平方根(ルート)の計算や問題の解き方を完璧に理解しよう!

因数分解のやり方・公式と解き方のコツ教えます!高校レベルまで対応!

二次方程式の解の公式・因数分解による解き方を解説!解の公式をマスター

部分分数分解の公式とやり方を解説!

三平方の定理が一瞬で理解できる!公式・証明から計算問題まで解説

二次関数のグラフの書き方と公式を使った最大値最小値問題の解き方!

関連するキーワード

スマホアプリで
学習管理をもっと便利に