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三角比がすぐ分かる!相互関係から導く公式と比の値の覚え方

この記事は最終更新日から1年以上が経過しています。内容が古くなっているのでご注意ください。

はじめに

高校数学の序盤の方で学習する三角比ですが、意外と躓く人が多いと思います。しかしこの三角比、大学受験数学においては超重要ともいえる「三角関数」の基礎にあたる分野なのです。なので、ここで遅れをとっていては、他の多くの受験生たちから大きく水をあけられてしまいます。

授業や教科書の解説だけじゃいまいちよく理解できない…とお困りのあなたに、この記事をお届けします!三角比の定義といった基礎から、それを応用した三角形の面積の求め方まで、わかりやすく説明しています!

三角比の定義

Qvg9wjvqwlmwkd1b8yrpz4jmne3ang5zqqkovzp0r5xk7ldg2go96qebxjml6wzj?w=430

三角比とは何か

三角比とは、「直角三角形の鋭角がある角度θ(シータ)だった時の、辺の長さの比」のことです。
直角三角形においては、一つの鋭角の大きさによって辺の比は一律に定まるのです。
なぜそうなるのかは、相似を使えばすぐわかります。

下図の△ABCと△A'B'C'において、これらは直角三角形かつ一つの鋭角が等しいので、相似であることがいえます。
相似であれば辺の比が等しいので、AB:BC=A'B':B'C'と分かります。
2つの比が等しいので、それらの比の値も等しくなります。よってAB/BC=A'B'/B'C'となります。

このように、直角三角形においてAB/BCのような辺の比は、三角形の大きさにかかわらず一つの鋭角の大きさによって定まるのです。

Gr1deekzx9vp658dz2xy71pdglajyypa9d2nnv0wqebrmwjeo3mrq4lgbkl6wz4l?w=430

ここで、三角比を用いる際に新しい言葉を登場させます。

Kmzev24gpja3b0bddlkworvyejnmnxq0lpnyme62pkgzq7l159xzrxwqv895qdgy?w=430

上図の直角三角形ABCにおいて

Jmjalez47eamldjrgj3yxdrlnq2xnzmbkw3ampv8wp9wzbk5gqob1k6ve0zd7e0d?w=430

を角θのサイン(正弦)といい、sinθと書きます。

Kmzev24gpja3b0bddlkworvyejnmnxqyd8vyme62pkgzq7l159xzrxwqv895qdgy?w=430

を角θのコサイン(余弦)といい、cosθと書きます。

0165gbexk9a28lmvq46dmwgn50kzo8qnmmeaxglbbjzpreqv3wy7prd1ojojevb4?w=430

を角θのタンジェント(正接)といい、tanθと書きます。
これらをまとめて三角比と呼びます。

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三角比の覚え方

sin、cos、tanはそれぞれどこの辺の比を示すのか、覚えにくい方も多いかもしれません。
そこで、ここでは三角比の見やすくて簡単な覚え方を紹介します!

まずsinθですが、これは筆記体では下のように書きます。

5e63jkknj6me2rzq4jgp0my5qg1wnnmwpqjadw7bxrokpbz89vaxledlv3erzvow?w=430

この筆記体での「s」の書き順を、三角形に当てはめることで、sinはどこを示すのか簡単に覚えられます。
下図の三角形では、aからbに書き順が流れています。先に出てくるほうを分母に、後に出て来るほうを分子に置きます。よってsinθはb/aということになります。

P9emmoxz9wr5q0zy8jalk42dg6wgym12e4mynx7veo3vdpj1qlmmbpkreb7vrzqd?w=430

cosも同様に、「c」の書き順を三角形に当てはめます。
するとcosθはc/aとなります。

Gq7xp6dk2xkdbm67rw1nx5lylzewygmledwaeqzv9v3j8qbppjr4gaom0gbxjjzz?w=430

そしてtanθの筆記体はこう書きます。

Wgypb7dnvo1bgqy0plklprjg29wqajd9edzyz4edwk5b78va3jm6rexzmx0vv9dx?w=430

この書き順を三角形に当てはめることで、
tanθはb/cになります。

Kmzev24gpja3b0bddlkworvyejnmnxqybwjyme62pkgzq7l159xzrxwqv895qdgy?w=430

三角比の相互関係と公式

Oyzvgzwkdz8megekq25xwmdo3nl4y5o2zpqax6vlyqjzp1rabr7bv9pgj09krjjq?w=430

sinθ、cosθ、tanθの間には、常に成り立つ相互関係があります。それは三角比の重要公式としても扱われるものなので、導出方法を含めてしっかりと覚えておきましょう。

1つ目の三角比公式

sinθ、cosθ、tanθがすべて登場する公式です。私の高校ではこれを「オールスター公式」と呼んでいました。
「三角比の覚え方」で出てきた三角形を使うと、この公式の導き方は、

A2nj8vwdxrzk7qj5jb3rmg1ep94yy4k87kxnv2evn6okdb0lwlapmxg8zqmpdgkg?w=430

Rzdqr5pkmqjd5oll4p820bzrba7gybxpkdya9xwnrjmd3qvgeexvy1k6wzyj0kl1?w=430

Jmjalez47eamldjrgj3yxdrlnq2xnzmbw28ampv8wp9wzbk5gqob1k6ve0zd7e0d?w=430

で、

Vbvbxw6adqr29jokme3zvexq1lzgnvb1a6zn4jdlkvb80bmg5xw7rywpnpwkkomp?w=430

なので、①、②を代入して

Dvxngojz45zvbg2kwaxeq3vnrmdyoe0zom6ypd8qwpb16o9klrem0x7glj0ga21m?w=430

よって

A2nj8vwdxrzk7qj5jb3rmg1ep94yy4k87wnnv2evn6okdb0lwlapmxg8zqmpdgkg?w=430

が導かれます。

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2つ目の三角比公式

4xrjlwm6xv2dwdy0gbnoe7rka9lkydw8qwonjx5b4vr1qg38pemjpqzwzloeraed?w=430

これは三平方の定理と実質的には同じ意味を持つ公式です。よって、もちろんこの公式は三平方の定理から導くことができます。

三平方の定理より

Gzpjdpzkep6oar3qnd2glbexbqymyp9zem3o5r9kmjj8dv4xwgw01v7lpz2klrv6?w=430

ここに①、②を代入して

Qvg9wjvqwlmwkd1b8yrpz4jmne3ang5zdzqovzp0r5xk7ldg2go96qebxjml6wzj?w=430

この式の両辺を

E208bwkevmxqg9bk5d4qgxlzzp0dnwj187zaj6jmyeor3n7alv8bwp2wr1qryg13?w=430

で割って整理すると

Pa2kwyap4zyke0exqmvwkw3qdrlvyremrlln85zmpdobgbj627xr1gn9ljz4l7vd?w=430

が導かれます。

3つ目の三角比公式

Mpvbx1ajjnrxew3lqppdlbzv5mq2abk9jzend7vk0yg19zbxkgw4ro86emnz4yjq?w=430

この公式は2つ目の三角比公式の両辺を

L470m9prldqnbe4lpxzxkmawkgj8amyb5qbady5qr319obezv6v7jwm02gqvjlpk?w=430

で割ることによって導かれます。

すなわち

Dzw5nqlm8jxv7rrjz2ok1ee4an3ynv71m5dylqbqwbpg05x6mzgwdk9dpv2jx1db?w=430

で、1つ目の三角比公式

Ejy6kgm58bzjvqr9kbq4v1xrepl7nldgljxnmwlg6oa2kyedgwdx0znjp3pq5jwr?w=430

より

Gq7xp6dk2xkdbm67rw1nx5lylzewygmeb8baeqzv9v3j8qbppjr4gaom0gbxjjzz?w=430

なので

Dvxngojz45zvbg2kwaxeq3vnrmdyoe02blxypd8qwpb16o9klrem0x7glj0ga21m?w=430

が成立します。

4つ目の三角比公式

Kllxrwjq1b5gpdmbylazdex0qvvknez2x00yxr8zwlp7eogj923k6mnr4w1b9qmo?w=430

こちらは三角比公式の2つ目を

E208bwkevmxqg9bk5d4qgxlzzp0dnwj18jqaj6jmyeor3n7alv8bwp2wr1qryg13?w=430

で割ることによって導かれます。
すなわち

L470m9prldqnbe4lpxzxkmawkgj8amy1o6oady5qr319obezv6v7jwm02gqvjlpk?w=430

で、1つ目の三角比公式より

Ode1kq7q1ypnmrkb06dz58xajx3my9gybjmalvwg9gowvdelqbrz4pek2j4ygnrj?w=430

なので

Rzdqr5pkmqjd5oll4p820bzrba7gybx9bb5a9xwnrjmd3qvgeexvy1k6wzyj0kl1?w=430

が成立します。

1つ目の三角比公式の覚え方

1つ目の三角比公式では、sinとcosどっちが分子だったか曖昧になってしまう人も多いと思うので、私が実際にやっていたこの公式の覚え方を紹介します。
その方法は、「サインは一番偉いから上(分子)に書く」というものです。なんでサインが偉いのかといったら、三角比はいつも「サイン、コサイン、タンジェント」という順番で呼ぶからです。「コサイン、タンジェント、サイン」などという順番で呼んだりはしませんよね。サインは三角比の中でも一番最初に出てくる=偉い!=上に書く!というようなイメージで覚えましょう。

三角比を使って面積を計算する問題

3jmr1oql8xvxkpbgwbzzmqdr94j5akw7yxvak0p71lyd3jemnev2w6rgao2qkprd?w=430

高さが与えられていない三角形でも、三角比を使えば面積を求めることができます。

例えば、下の三角形ABCの面積を求めてみましょう。

L470m9prldqnbe4lpxzxkmawkgj8amy2e7jady5qr319obezv6v7jwm02gqvjlpk?w=430

頂点Aから辺BCに垂線をおろし、その足をHとします。
すると、線分AHが△ABCの高さとなります。
ここで△ACHに着目すると、

30rgj80m8g1gnqy2arwmb6vxvzejnxpo22yn7djk4p9qlebzl5r3oxdkwpwlmdl9?w=430

で、
∠C=60°、AC=6より

5e63jkknj6me2rzq4jgp0my5qg1wnnmwb2wadw7bxrokpbz89vaxledlv3erzvow?w=430

よって△ABCの面積は

1/2×8×3=12

になります。


そして、こうして求めた三角形の面積を数字ではなく文字のままで表すと、

Oyzvgzwkdz8megekq25xwmdo3nl4y5o2zzpax6vlyqjzp1rabr7bv9pgj09krjjq?w=430

となります。実は、これは三角形の面積を求める式として公式化されています。

覚え方は、「ある角のサイン×その角を挟む2辺×1/2」です。
一瞬で面積を求めることができるので、是非覚えておきましょう。

三角比の比の値をまとめた表

Rzdqr5pkmqjd5oll4p820bzrba7gybxparva9xwnrjmd3qvgeexvy1k6wzyj0kl1?w=430

角度の大きさによって三角比の値は無限に存在するのですが、高校数学においては0°、30°、45°、60°、90°、120°、135°、150°、180°の時の三角比の値さえ覚えておけば問題ありません。
そこで、見やすいように三角比の値の表を載せておきました。何回も見返して、この表に載っている数値は完璧に覚えるようにしましょう!

Oyzvgzwkdz8megekq25xwmdo3nl4y5oa8maax6vlyqjzp1rabr7bv9pgj09krjjq?w=430

最後に

Vbvbxw6adqr29jokme3zvexq1lzgnvb1mxln4jdlkvb80bmg5xw7rywpnpwkkomp?w=430

大学受験頻出の三角関数に立ち向かうために、三角比は絶対にマスターしておかなければいけません。基礎さえしっかり覚えておけば決して難しくはないジャンルなので、このサイトを見て基本の部分からしっかり理解し、三角比をいち早く自分で使えるようにしましょう!

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この記事を書いた人
A2nj8vwdxrzk7qj5jb3rmg1ep94yy4zgv4pav2evn6okdb0lwlapmxg8zqmpdgkg?w=72
現役で早稲田大学 政治経済学部に合格しました。センター利用だったので主に国公立対策の記事を書いています。 得意科目は英語と国語で、歌うことが大好きです。精密採点DX-Gでの最高得点94.497。95点越えが目標です。

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