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順列と組み合わせの違い・カンタンな見分け方を教えます!

この記事は最終更新日から1年以上が経過しています。内容が古くなっているのでご注意ください。

はじめに

多くの高校生がつまずいてしまう単元である「場合の数」。その中でも最もやっかいなポイントが「順列」と「組み合わせ」です。

これら2つの登場で、中学生のときのようにただただ数えればよかった確率の問題が、急にややこしい計算をしないといけない問題に変わってしまいました。
しかも2つが似通っていてどうやって使い分ければいいかわかりにくいです。

もしあなたが、場合の数について「定期テストで全然良い点数が取れなかった」とか「学校で配られた問題集が全くわからない」というような悩みを抱えていたらぜひこの記事を読んで下さい。
「順列」と「組み合わせ」の違いや使い分けを1から丁寧に解説します。

まずは最初に「順列」と「組み合わせ」それぞれの計算方法をお話します。そしてその後実際の問題を通じてその使い分けについてお話します。

順列(Permutation)とは

Rzdqr5pkmqjd5oll4p820bzrba7gybx58kga9xwnrjmd3qvgeexvy1k6wzyj0kl1?w=430

順列は、『異なるn個のものからr個選んで「一列に並べる」』場合の数のことをいいます。
その値は、Pという記号を用いて、以下の式のように表せます。

Ejy6kgm58bzjvqr9kbq4v1xrepl7nlpz48gnmwlg6oa2kyedgwdx0znjp3pq5jwr?w=430

このように、順列の値はnから1つずつ数を小さくしたものをr個掛けた値になります。
なぜこうなるのでしょうか?
最初の1番目を選ぶ際には、n個の選択肢があります。
さらに1番目のn個の選択肢のそれぞれに対して、2番目は選んだもの以外の(n-1)個の選択肢があります。
3番目は(n-2)個と選択肢が1つずつ少なくなっていって、r番目まで選んでいくので、このような式で求めることになるのです。

例えば7人の学生の内の3人が一列に並ぶ場合を考えてみましょう。
これは順列で求められるので、7から1ずつ小さくなる3つの数字を掛けて

9mm8z0kr435w0rmlq1nalg7qxod2y2kbqano9zgxebpvzjkw6pbvyd8jem31wxld?w=430

となります。
また、nから1までの数字をかけたものを階乗といい、nの後に!の記号をつけて表します。
例えば5!=5×4×3×2×1=120 です。
この!を使うと順列は別の書き方で表すことができます。

Ejy6kgm58bzjvqr9kbq4v1xrepl7nldm5qpnmwlg6oa2kyedgwdx0znjp3pq5jwr?w=430

nからr個の数を掛けたものということは、nの階乗の後ろからn-r個を省いたものということです。
そういった観点から表記したのが上の式になります。

組み合わせ(Combination)

P9emmoxz9wr5q0zy8jalk42dg6wgym16j3eynx7veo3vdpj1qlmmbpkreb7vrzqd?w=430

次に組み合わせについて解説します。
組み合わせは『異なるn個のものからr個選ぶ「選び方」』の数のことをいいます。
使う記号はCで、以下の式の値を取ります。

Gwamrp8bzqy4jar9ldbemxg7p6e3nzkz1q4yjkowzrvd0kl52qnv1wgmxp9empvw?w=430

n個の数からr個を選んで並べる順列のうち、同じ数の組み合わせはr!個あるためこのような計算式になります。
r!は、「r個の数からr個を選んで一列に並べる」順列です。よって同じ数の組み合わせによる順列はr!個あるのです。
例えば7人の学生A~Gのうちから3人選んで一列に並べる並べ方は

Ode1kq7q1ypnmrkb06dz58xajx3my9gbzmvalvwg9gowvdelqbrz4pek2j4ygnrj?w=430

であることは先ほど順列の単元で見ましたが、その中で
A-B-C,A-C-B,B-A-C,B-C-A,C-A-B,C-B-A
の6つは同じ(A,B,C)からなるため組み合わせでは同一のものと考えます。
3個の数を一列に並べる分だけ同じ組み合わせがあるので3!=6つのダブリがあるのです。

この章のまとめ

・順列は『異なるn個からr個選んで一列に並べる』
・順列の値はnから1ずつ小さくなるr個の整数を掛けたもの
・組み合わせは『異なるn個からr個選ぶ』
・組み合わせの値は、順列の値を重複しているr!で割ったもの

順列と組み合わせの違い・使い分け

0165gbexk9a28lmvq46dmwgn50kzo8qb0meaxglbbjzpreqv3wy7prd1ojojevb4?w=430

順列と組み合わせの一番の違いは、「順番を考慮するかしないか」ということがわかっていただけたと思います。

問題文に「並べ方」や「列」など順番を考慮するような言葉が出てきたら順列Pを「組み合わせ」や「選び方」というような言葉が出てきたら組み合わせCを使えばいいという事がいえます。
しかし、言葉ではわかっていても実際に問題を解くとなるとなかなか判断に困ってしまうのが実際のところです。
問題演習を通じて理解を深めていくのが一番良いでしょう。

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ややこしい問題 平成26年度センター試験より

3jmr1oql8xvxkpbgwbzzmqdr94j5akw2eaeak0p71lyd3jemnev2w6rgao2qkprd?w=430

Vbvbxw6adqr29jokme3zvexq1lzgnvbmwe1n4jdlkvb80bmg5xw7rywpnpwkkomp?w=430

独立行政法人大学入試センターHPより引用

この問題を見た時に、(1)は組み合わせ、(2)は順列を使って解く問題だと言うことを見抜くことはできましたか?
センター試験本番の問題だけあって、やはり難しいです。この問題を解ければ順列と組み合わせは大学入試レベルに十分通用してると言えるでしょう!
それでは実際に問題を見ていきます。

この問題では「サイコロを振ってその目に対応する方向に移動する」という試行を繰り返します。
(1)では問題にある通り4回サイコロを振った内2回が3、2回が4の目になる場合の数を求めます。
先程も述べたとおり、この問題は組み合わせを使って解くのですが、組み合わせを使うには考え方に工夫が要ります。
組み合わせは「異なるものから幾つかの数を選ぶ」考え方ですが、サイコロの目に注目すると3が2つ、4が2つと「異なるもの」から選ぶことができません。
そこで、この問題ではこのように考えます。
「1回目、2回目、3回目、4回目という異なる試行のうち、3の目が出る試行を2つ選ぶ」
こう考えることで求める場合の数が

Dvxngojz45zvbg2kwaxeq3vnrmdyoe0b6dgypd8qwpb16o9klrem0x7glj0ga21m?w=430

だと言えます。

(2)は、もしかすると(1)よりも解きやすいと感じる人が多いかもしれません。
とりあえず問題文を見ても何の場合の数を求めればいいのかよくわからないので、3回でAからCに移動するような場合を具体的に考えてみます
3→5→4、4→5→3などで3回でCに移動することになります。

実験を繰り返すと「3,5,4の3つの異なる数を1回ずつ出した時」3回でCに辿り着けます。
よって求める答えは

Jmjalez47eamldjrgj3yxdrlnq2xnzm8dp9ampv8wp9wzbk5gqob1k6ve0zd7e0d?w=430

となります。

(3)は問題文をよく読むと分かるのですが、AからCに3回で移動するのとCからDに3回で移動するのでは同じ目の出方をすればいいことになります。
よって、6×6=36通りの移動方法があります。

「円順列」について

ここまで順列と組み合わせ、またそれらの違いや使い分けについて見てきました。
最後に、順列を応用の1つである円順列、数珠順列について説明します。

円順列

円順列の最も典型的な問題は「A,B,C,D,Eの5人が円になって並ぶ並び方は何通りあるか?」という問題です。

5人を一列に並べる順列と同じに考えてしまうと、次の2つの並び方は異なるものになります。

Kdxj5vn8rvw2qlpw0a79m1qzpvolnqaenrlnxmk5ze3b4gdjjxky6regdbwav1l7?w=430

30rgj80m8g1gnqy2arwmb6vxvzejnxpgla6n7djk4p9qlebzl5r3oxdkwpwlmdl9?w=430

しかしよく見ると、下の図も上の図から位置がずれているだけで並び順自体は一緒です。
円順列では、順列のときは異なるものと数えていたものの中に同じものが含まれることがわかります。

これらを重複して数えてしまうのを防ぐために、一人を選んで位置を決めてしまい、残りの人を一列に並ばせるという解き方をします。
Aの位置は上の図で固定すると、残り4人を4つの位置に配置する必要があります。
これは「異なる4人から4人選んで1列に並べる」並べ方と同じです。

よって「異なるn人を円状に並べる」並べ方は「異なるn-1人を一列に並べる」並べ方と同じ数になるのです!

最後に

場合の数・確率は多くの大学の入試問題で出題される、超重要な分野です。
もしあなたが数学を使って受験するなら「確率に出会わないで受験を終えることは無い」といい切ってもいいくらい高い頻度で出会います。
場合の数や確率が苦手になってしまうと、どうしても不利になってしまいます。

そんな場合の数・確率を苦手にしないためには、基礎の基礎である「順列」と「組み合わせ」を正しく理解することが大切です。
この記事があなたの受験の助けになることを願っています!

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