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ヘロンの公式とその証明!計算例題で使い方をマスター【四角形verも】

この記事は最終更新日から1年以上が経過しています。内容が古くなっているのでご注意ください。

はじめに

ヘロンの公式って名前はよく聞くけど一体何なの?どうやって使うの?など、ヘロンの公式について知らないことが多い人はたくさんいると思います。
ヘロンの公式は、三角形の面積を手早く求めることができる便利な公式です!覚えておいて絶対に損はないです!

この記事では、計算にたいへん役立つヘロンの公式を、証明から計算例題まで掲載しています。さらに、ヘロンの公式の四角形バージョンとも言える、ブラーマグプタの公式についても紹介しています!

ヘロンの公式とは?

Pa2kwyap4zyke0exqmvwkw3qdrlvyre86dqn85zmpdobgbj627xr1gn9ljz4l7vd?w=430

ヘロンの公式は、三角形の面積を3辺の長さを用いて表すことができるという公式です。
下図に三角形と公式の一般例を載せています。
使う際にはs=(a+b+c)/2というところに注意しましょう!よく「文字が3つだから分母は3だろう」と間違える人がいますが、分母は『2』です!

Ng1wm8d50rleg1zbypw7z2kdpqemy6gk0pwol8brjvokagvmxn3j694wqx4owelv?w=430

この公式を使えば、三角形の面積を求めるのがとても速く、簡単にできるようになります。

しかし、注意してほしいことが一つあります。記述式の数学の問題では、断りなくこの公式を使うと減点される場合があります。なぜならこれは基本的には高校数学の学習指導要領の範囲外となっているからです。ですので、この公式を使うのはセンター数学など、記述が求められない問題だけにしておきましょう。どうしても記述式数学でこの公式を使いたいときには、必ず証明をしてから使うようにしてください。

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ヘロンの公式の証明

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ヘロンの公式の証明方法は何通りかありますが、その中でも最も基本的なものを紹介します。
余弦定理、三角比、因数分解を使った方法です。

Gr1deekzx9vp658dz2xy71pdglajyypa9xbnnv0wqebrmwjeo3mrq4lgbkl6wz4l?w=430

まず、上のような△ABCの面積をSとすると、三角比を用いた三角形の面積公式より
S=1/2×acsinAとなります。

そして、三角比の基本公式を使うと

1ebymb39qbzxl1rzqmge86x20jn5o3dey7eamlkvpwkdaywgrjde4vobp73amx9r?w=430

また余弦定理より

Oyzvgzwkdz8megekq25xwmdo3nl4y5oxzqlax6vlyqjzp1rabr7bv9pgj09krjjq?w=430

なので、面積Sは次のような式で表せます。

Qvg9wjvqwlmwkd1b8yrpz4jmne3ang5kpraovzp0r5xk7ldg2go96qebxjml6wzj?w=430

ここから、根号内を簡単にしていきます。
まず因数分解公式の、

Gzpjdpzkep6oar3qnd2glbexbqymyp9mrk3o5r9kmjj8dv4xwgw01v7lpz2klrv6?w=430

を使って、

3jmr1oql8xvxkpbgwbzzmqdr94j5akw2bkqak0p71lyd3jemnev2w6rgao2qkprd?w=430

さらに変形を加えて

Vbvbxw6adqr29jokme3zvexq1lzgnvbmq9kn4jdlkvb80bmg5xw7rywpnpwkkomp?w=430

ここでまた因数分解公式

Ode1kq7q1ypnmrkb06dz58xajx3my9gvdpyalvwg9gowvdelqbrz4pek2j4ygnrj?w=430

を使って

Ode1kq7q1ypnmrkb06dz58xajx3my9gvd3jalvwg9gowvdelqbrz4pek2j4ygnrj?w=430

ここで根号内の分母を消します。

5e63jkknj6me2rzq4jgp0my5qg1wnnmnqedadw7bxrokpbz89vaxledlv3erzvow?w=430

より

Mldxd0dmwrz61ekpqxj7ble82lkgoamyllboqpxz3v9odyb0w5agjn4vmrrn2pj3?w=430

そして、ここで

Gd3qdbx7qqbdove0l2wgzmpvg3wpyl5ljapoykm6r4baked58jjzl19nxrlkg015?w=430

とおきます。
すると、次のように変形していけます。

30rgj80m8g1gnqy2arwmb6vxvzejnxpgeldn7djk4p9qlebzl5r3oxdkwpwlmdl9?w=430

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こうして、ヘロンの公式が証明されました。

記述式数学でヘロンの公式を使いたい場合は、覚えていつでも書けるようにしておきましょう。

ヘロンの公式を使った計算問題

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ヘロンの公式を使って実際に問題を解いてみましょう。

「最後に」の後ろの方に答えだけ載せておきます。自力で公式に数字を当てはめて計算してみましょう。

例題1

Pa2kwyap4zyke0exqmvwkw3qdrlvyregqmvn85zmpdobgbj627xr1gn9ljz4l7vd?w=430

例題2

P9emmoxz9wr5q0zy8jalk42dg6wgym1gd2eynx7veo3vdpj1qlmmbpkreb7vrzqd?w=430

ブラーマグプタの公式(ヘロンの公式の四角形バージョン)

P9emmoxz9wr5q0zy8jalk42dg6wgym1qpeqynx7veo3vdpj1qlmmbpkreb7vrzqd?w=430

E208bwkevmxqg9bk5d4qgxlzzp0dnwj6plxaj6jmyeor3n7alv8bwp2wr1qryg13?w=430

Gd3qdbx7qqbdove0l2wgzmpvg3wpyl582jgoykm6r4baked58jjzl19nxrlkg015?w=430

円に内接する四角形の面積を求める「ブラーマグプタの公式」というものもあります。「ヘロンの公式」の四角形バージョンと考えると覚えやすいでしょう。実際、式の形は非常に似ており、「ブラーマグプタの公式」においてd=0とする、つまり四角形の辺ADをなくす(四角形ABCDを三角形ABCにする)と、ちょうどヘロンの公式と一致します。
注意すべき点としては、これも証明なしでは記述式数学で使えないというところと、「円に内接する」四角形という条件がついているところです。どのような四角形に対してもこの公式が適用できるわけではありません。

更に一般化された、どのような四角形に対しても面積を求めることができる公式「ブレートシュナイダーの公式」というものもあるので、興味のある人は調べてみてください。

最後に

使うと便利なヘロンの公式ですが、証明なしには記述式数学では使えないという弱点もあります。しかし、三角形の面積を手早く求めることができるので、センター試験などマーク式の問題や答えだけを穴埋めするタイプの問題に対しては効果抜群です。さらに、円に内接する四角形の面積を求めるブラーマグプタの公式も紹介しました。
証明まで完璧に覚える必要はありませんが、どのようにしてこの公式が作られたのかを大体理解するようにしてから使うようにしましょう。そうすればsの1/2のつけ忘れなど細かいところでのミスが減って、ヘロンの公式を使いこなせるようになりますよ!

【例題1の答え】
10√3

【例第2の答え】
6√10

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この記事を書いた人
A2nj8vwdxrzk7qj5jb3rmg1ep94yy4zgv4pav2evn6okdb0lwlapmxg8zqmpdgkg?w=72
現役で早稲田大学 政治経済学部に合格しました。センター利用だったので主に国公立対策の記事を書いています。 得意科目は英語と国語で、歌うことが大好きです。精密採点DX-Gでの最高得点94.497。95点越えが目標です。

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