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自然対数lnとは?底のeって何?定義や微分積分、常用対数変換公式も紹介

この記事は最終更新日から1年以上が経過しています。内容が古くなっているのでご注意ください。

はじめに

自然対数って何?常用対数とは違うの?
初めて登場する自然対数、そして底のeという数字に戸惑ってはいませんか?
そんなあなたでも心配いりません!この記事では自然対数やeの定義、そして微分積分公式や常用対数への変換公式まで紹介しています!
わからない言葉が出てきたら、わからないままにしていては数学力は伸びません。この記事を読んで、自然対数についてしっかり理解し、応用公式も使えるようにしましょう!

自然対数lnとは?

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自然対数とは、「ln(エルエヌ)」とも書き、「ネイピアの数eを底とする対数」のことです。
「ln4」、「ln8」などという書き方をします。
なんでこんな訳の分からない数字を底とした対数なんか使うんだろう?底が10というわかりやすい数字の、常用対数のほうが使いやすいんじゃないか、と疑問に思う人も多いでしょう。
しかし、この「e」は計算上非常に便利な性質を持っていたり、自然界を分析する時によく出てきたり、金利計算で出てきたり、とにかく至るところで活躍する数字なんです。だから、自然対数はアカデミックな世界から私達の身近にある技術職まで、様々な場面で使われています。

ちなみに、自然対数の底は省略可能です!
ですから「log3」とか「logy」とかいった書き方が一般的です。

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自然対数の底「e」とは?

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ネイピア数「e」

さて、この自然対数の底である「e」という数字、一体何者なんでしょう?(「e」と書いてあるので文字のようにも見えますが、これは「数字」ですよ!「π」と同じようなもので、数字として書くには余りにも長いので見やすいように「e」という文字に置き換えているだけです。)

具体的には、
e=2.71828182845…
です。無限に小数点が続いているので、これは無理数ですね。

eは「ネイピア数」ともいい、これは数学者ジョン・ネイピアの名前から来ています。対数の研究の途中に発見された数字で、この発見が後の科学界に大きな影響をもたらすことになります。
eはその微分の計算において非常に美しい性質があります。

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というものです。なんと、eの指数関数は微分してもその姿が全く変わりません!このような、ある操作を行っても変化しない数字、というものは計算上大きな利便性をもちます。「1」とか「0」のようなものですね。

まとめると、「e」は無理数であり、対数の研究の副産物であり、計算上便利な性質をもっている数字、ということになります。
さて、このe、突拍子もなく2.71828182845…がeだ!なんて定めたわけではありません。このeが導かれるための定義式というものがあります。
次はそれを見ていきましょう。

定義

ここでネイピア数eの定義を紹介します。最も有名なのが

Oyzvgzwkdz8megekq25xwmdo3nl4y5o3e08ax6vlyqjzp1rabr7bv9pgj09krjjq?w=430

です。1にめちゃくちゃ小さい数をたして、それを無限乗することで出てくる数字、ということになります。
また、プラスの部分をマイナスに変えると、eの逆数が出てきます。

0165gbexk9a28lmvq46dmwgn50kzo8qovkqaxglbbjzpreqv3wy7prd1ojojevb4?w=430

自然対数の微分公式

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ここでは自然対数の微分公式を紹介します。自然対数を微分すると、どうなるのでしょうか?結果は非常にシンプルなものです。

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これだけです。
微分に関してはとにかく「e」が最強なんです。「e」が絡む微分は基本的にシンプルな結果になります。

自然対数の積分公式

9mm8z0kr435w0rmlq1nalg7qxod2y2kr82wo9zgxebpvzjkw6pbvyd8jem31wxld?w=430

次に、自然対数の積分公式を紹介します。これは不定積分で、Cを積分定数とします。

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微分公式ほどではないですが、これも簡単な結果になっていますね。
ちなみにこの公式の証明には、部分積分という知識を使用するため、忘れている人はそれも合わせてチェックしておきましょう。

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自然対数から常用対数への変換公式

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最後に、自然対数から常用対数への変換公式を紹介します。

Ng1wm8d50rleg1zbypw7z2kdpqemy6gk9apol8brjvokagvmxn3j694wqx4owelv?w=430

常用対数を約2.303倍すれば、自然対数になるというものです。
これは非常に便利ですが、どうしてこんなに単純な公式ができるのでしょう。
これは底の変換公式を使うことにより証明できます。

Dzw5nqlm8jxv7rrjz2ok1ee4an3ynv78ob6ylqbqwbpg05x6mzgwdk9dpv2jx1db?w=430

この底の変換公式において
a=10、b=x、c=e
とします。
すると、

9mm8z0kr435w0rmlq1nalg7qxod2y2kxzd5o9zgxebpvzjkw6pbvyd8jem31wxld?w=430

よって

Ejy6kgm58bzjvqr9kbq4v1xrepl7nldowl7nmwlg6oa2kyedgwdx0znjp3pq5jwr?w=430

ここで

Qvg9wjvqwlmwkd1b8yrpz4jmne3ang5z45lovzp0r5xk7ldg2go96qebxjml6wzj?w=430

なので、

Apdwe5vxaeg6q173j0l5d8wkdqmnn7ojakrnrlgvbexmwzyj4roppb9kz2q2llx3?w=430

が成立します。

最後に

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自然対数は、科学の世界において様々な場面で使用される対数です。私達の身近なところでも、自然対数を使った技術が使用されています。底となる数字eは、ネイピア数と呼ばれる無理数で、その指数関数を微分しても姿が変わらないというキレイな性質があり、計算上とても便利なものです。そのため、自然対数の微分・積分公式も非常にシンプルなものになっています。
自然対数の次によく使われる常用対数への変換公式も、簡単なものなのでしっかり覚えておきましょう!自然対数は一見よくわからないものですが、知識をつければ難なく対処できます。恐れず立ち向かっていきましょう!

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この記事を書いた人
A2nj8vwdxrzk7qj5jb3rmg1ep94yy4zgv4pav2evn6okdb0lwlapmxg8zqmpdgkg?w=72
現役で早稲田大学 政治経済学部に合格しました。センター利用だったので主に国公立対策の記事を書いています。 得意科目は英語と国語で、歌うことが大好きです。精密採点DX-Gでの最高得点94.497。95点越えが目標です。

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