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メネラウスの定理・チェバの定理の証明と応用を1から解説!問題付き

この記事は最終更新日から1年以上が経過しています。内容が古くなっているのでご注意ください。

はじめに

図形問題でよく出てくるメネラウスの定理。
ですが、少し複雑な形をしているため、なかなか覚えられないという方も多いのでは?
心配ありません。忘れたら作ればいいのです。

この記事では、大学受験で頻出のメネラウスの定理とチェバの定理を証明したあとに、実際に大学入試で出題された問題を解いていきます。
メネラウスの定理は、センターで頻出である上、知っていると解答や計算を簡潔にすることができる「武器」です。しっかり使いこなせるようにしましょう!

メネラウスの定理の証明いろいろ

メネラウスの定理とは、以下のような三角形において

Ng1wm8d50rleg1zbypw7z2kdpqemy6goll4ol8brjvokagvmxn3j694wqx4owelv?w=430

となることをいいます。
私は「行って帰ってあとは順々に」と覚えていました。

9eonlbw6ek2lx5d0jbgxw7azroj1nqdabrlaqnmyvg4klbpdq89vz3merpj5g31v?w=430

証明方法は色々ありますが、覚えやすいものを3つご紹介します。

平行線を引いてみる

Gwamrp8bzqy4jar9ldbemxg7p6e3nzkgdgeyjkowzrvd0kl52qnv1wgmxp9empvw?w=430

Dzw5nqlm8jxv7rrjz2ok1ee4an3ynv71gz6ylqbqwbpg05x6mzgwdk9dpv2jx1db?w=430

垂線を引いてみる

L470m9prldqnbe4lpxzxkmawkgj8amy1glbady5qr319obezv6v7jwm02gqvjlpk?w=430

A、C、Dから直線BFに垂線を引き、その足をそれぞれK、M、Nとおく。
直線AK、直線CM、直線LEはそれぞれ平行であるので、
△AKF∝△CMF
△CMG∝△DNG
△BND∝△BKA

よって、

5e63jkknj6me2rzq4jgp0my5qg1wnnm1zn0adw7bxrokpbz89vaxledlv3erzvow?w=430

以上より、

Ejy6kgm58bzjvqr9kbq4v1xrepl7nldgbmwnmwlg6oa2kyedgwdx0znjp3pq5jwr?w=430

面積比を使って証明

A2nj8vwdxrzk7qj5jb3rmg1ep94yy4kd2dqnv2evn6okdb0lwlapmxg8zqmpdgkg?w=430

△AGB = a(水色のところ)
△BGC = b(ピンク色のところ)
△DBG = c(斜線が引かれているところ)
とおく。

Oyzvgzwkdz8megekq25xwmdo3nl4y5odlddax6vlyqjzp1rabr7bv9pgj09krjjq?w=430

メネラウスの定理の逆!?

実は、「メネラウスの定理の逆」と呼ばれる定理が存在します。それがこちら。

Gr1deekzx9vp658dz2xy71pdglajyyp7b7knnv0wqebrmwjeo3mrq4lgbkl6wz4l?w=430

これも、メネラウスの定理ほどではないですが使える定理なので、証明込みで覚えておきましょう。

30rgj80m8g1gnqy2arwmb6vxvzejnxpmdx6n7djk4p9qlebzl5r3oxdkwpwlmdl9?w=430

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チェバの定理の証明いろいろ

Lrkby3xy7okgzl69k4r15neajgpjy1zd920o0q2em8mqxd3dlbvrvbwpwzmd458a?w=430

次はチェバの定理です。チェバの定理とは、以下の三角形において、

Xlx4qzwrmeqd2wzb79byxgvp4px5yw0rgjbo01r3nkemdkzjlago8vlj6qb5dor9?w=430

となることをいいます。
順々に点をめぐっていくイメージで、メネラウスの定理よりも覚えやすいですね!

Dzw5nqlm8jxv7rrjz2ok1ee4an3ynv71grdylqbqwbpg05x6mzgwdk9dpv2jx1db?w=430

では、これを証明していきます。主な証明方法は2つです。

面積比を使って証明

Gvqyplzv6al5gyk2nboxvd1qjpebyr3eyx1o87qr04lkxm3ergj9zwwdpmavx5er?w=430

色分けした三角形の面積比を、線分比で表して考えます。シンプルで覚えやすい証明です。

Ejy6kgm58bzjvqr9kbq4v1xrepl7nldgb9wnmwlg6oa2kyedgwdx0znjp3pq5jwr?w=430

これを掛け合わせると、

Ng1wm8d50rleg1zbypw7z2kdpqemy6golk5ol8brjvokagvmxn3j694wqx4owelv?w=430

メネラウスの定理を使って証明

次は、先ほど証明したばかりのメネラウスの定理を用いてチェバの定理を証明してみましょう。

Kmzev24gpja3b0bddlkworvyejnmnxqpgl0yme62pkgzq7l159xzrxwqv895qdgy?w=430

Xlx4qzwrmeqd2wzb79byxgvp4px5yw0rg26o01r3nkemdkzjlago8vlj6qb5dor9?w=430

ここでのカギは、GC/DCという分数が①②両方の式に出てくるように、メネラウスの定理を使う図形を選んだところです。

Dzw5nqlm8jxv7rrjz2ok1ee4an3ynv71g8dylqbqwbpg05x6mzgwdk9dpv2jx1db?w=430

R58e4ngwyndjzw2o4epq73bdz1vjyj51b3nnmgeqk0x9rakbrl8m56lxvp6ev20m?w=430

矢印の推移において、DG、GCの箇所は黒い矢印と赤い矢印が重なっていますね。このように、重なる部分を作ることで、①②をかけたり割ったりすることで、チェバの定理の式を導出することができるのです。

同様に考えると、重なる部分を
AGとGE、またはBGとGFにしてみると、違った式でチェバの定理を証明することができます。興味のある方はチャレンジしてみましょう!

応用問題を解いてみよう!

30rgj80m8g1gnqy2arwmb6vxvzejnxpmdddn7djk4p9qlebzl5r3oxdkwpwlmdl9?w=430

それでは、メネラウスの定理を使ったセンター試験の問題を解いてみましょう。
メネラウスの定理は、ほとんどの場合数1Aの最後の大問で出題されます。メネラウスの定理単体で問われる問題は少なく、方べきの定理や外心・内心なども使いながら解く問題が多いため、応用問題ではありますが、基本を押さえていれば必ず解くことができます。

選択問題のため、本番は違う問題を選択するよ、という方もいるかもしれません。そうだとしても、センターの問題は図形問題に慣れるための練習に最適ですので、トライしてみましょう。

2015年本試験数学1A 第6問

9eonlbw6ek2lx5d0jbgxw7azroj1nqdabm2aqnmyvg4klbpdq89vz3merpj5g31v?w=430

http://www.dnc.ac.jp/albums/abm.php?f=abm00004808.pdf&n=2701-0402+suugaku1A.pdf

実際に図にしながら考えていきます。

1ebymb39qbzxl1rzqmge86x20jn5o3d38geamlkvpwkdaywgrjde4vobp73amx9r?w=430

問題文から読み取れた情報から描ける図がこれです。

方べきの定理より、CE×CB=CA×CDです。これに図から読み取れる数値を入れると、
(√5+BE)×√5=5×2=10(…ア、イ)
⇔5+√5×BE=10
⇔√5×BE=5
⇔BE=√5(…ウ)

BE=CB=√5より、
△ACEの重心GはAB上にあり、かつ AG:GB=2:1
よって、AG=5×2/3=10/3(…これがわからない方は、重心を復習しましょう!)

さて、いよいよメネラウスの定理です。
DP/EPが出てくるように式を立てると…

Qvg9wjvqwlmwkd1b8yrpz4jmne3ang5lwmaovzp0r5xk7ldg2go96qebxjml6wzj?w=430

これでいけそうです。では、数値を入れていきましょう。

L470m9prldqnbe4lpxzxkmawkgj8amy1g2wady5qr319obezv6v7jwm02gqvjlpk?w=430

2016年度本試験数1A 第5問

P9emmoxz9wr5q0zy8jalk42dg6wgym1qbggynx7veo3vdpj1qlmmbpkreb7vrzqd?w=430

Ng1wm8d50rleg1zbypw7z2kdpqemy6gol8eol8brjvokagvmxn3j694wqx4owelv?w=430

http://www.dnc.ac.jp/albums/abm.php?f=abm00007094.pdf&n=2801-0402+suugaku1A.pdf

これも円周角の定理などとの複合問題です。まずは情報を図に書き込んでみましょう。

Gq7xp6dk2xkdbm67rw1nx5lylzewygmegqbaeqzv9v3j8qbppjr4gaom0gbxjjzz?w=430

さて、まず求めるのは∠DAC=∠DBC=∠DCAと同じ大きさの角を求めることです。
そもそも∠DAC=∠DBCが言えるのは、円周角の定理があるからでした。同じ円周角の定理を、今度は∠DCAに使うと、
∠DCA=∠DBA
よって、選択肢は「0」が正解です。(…ア)

以上より、∠DBC=∠DBAということがわかりました。ここで、角の2等分線の性質を用いると、
AE:EC = BA:BC = 2:1
∴EC/AE=1/2(…イ、ウ)

さて、いよいよメネラウスの定理です。GC/DGが出てくるように式を立てると…

4xrjlwm6xv2dwdy0gbnoe7rka9lkydwegxrnjx5b4vr1qg38pemjpqzwzloeraed?w=430

では、(1)「直線ABが点Gを通る場合」について考えます。

Oyzvgzwkdz8megekq25xwmdo3nl4y5odla6ax6vlyqjzp1rabr7bv9pgj09krjjq?w=430

次にBGの長さを出します。上の三角形を眺めていて、何か使えそうな定理が思いつきませんか?
そう、チェバの定理です。

R58e4ngwyndjzw2o4epq73bdz1vjyj51bpanmgeqk0x9rakbrl8m56lxvp6ev20m?w=430

また、方べきの定理より、
GC×DG=BG×AG
⇔GC×3GC=3×7
⇔GC²=7
⇔GC=√7(∵GC>0)

よって、DC=2GCより、DC=2√7

最後に

A2nj8vwdxrzk7qj5jb3rmg1ep94yy4kd2njnv2evn6okdb0lwlapmxg8zqmpdgkg?w=430

ここまで、メネラウスの定理やチェバの定理を証明したあと、センター試験の問題を解いてきました。
メネラウスの定理に限らず、数学で出て来る公式・定理はすべて、「毎回証明して導出し、繰り返すうちに自然と覚える」のが一番有効な覚え方です。
演習を繰り返すことで、メネラウスの定理を完璧にし、数学で高得点をめざしましょう!

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この記事を書いた人
Vbvbxw6adqr29jokme3zvexq1lzgnvbp3qln4jdlkvb80bmg5xw7rywpnpwkkomp?w=72
現役で東京大学 文科I類に合格しました。夏からアメリカに1年留学するのですが、マジで太りたくないので野菜しか食べないつもりです。 得意科目は英語と数学で、国公立対策の記事を中心に執筆しています。

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