素因数分解のやり方を分かりやすく解説!計算問題も付いてます

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はじめに

あなたは素因数分解のやり方、しっかり分かっていますか?計算問題はちゃんと解けますか?
素因数分解は数学の整数分野の中でも基本的な知識で、ここをしっかり抑えていないと難しい応用問題などは手も足も出ません。素因数分解のやり方をマスターしておかないと、今後の学習に支障が出てきます。
素因数分解は最初は難しく感じるかもしれませんが、やり方に慣れてしまえば後はパズル感覚でサクサクできるようになります。この記事では、素因数分解のやり方や、それを応用した約数の個数の求め方などを丁寧に図を使って解説していきます!今わからなくても、この記事をじっくり読んで理解すれば、きっと素因数分解が得意になりますよ!

素因数分解とは?

素因数分解とは、「自然数を素数の掛け算で表す」ことです。素因数分解をする際には、注意点が2つあります。

1つ目として、素因数分解の対象は「自然数」であるということです。「自然数」とは「正の整数」で、「2」「30」「400」などのことを指します。よく間違える人がいますが、「0」は自然数ではないので、気をつけてください!
よって 
−45=−3×3×5
は素因数分解っぽいですが、対象が「自然数」ではないため素因数分解とは言いません。

2つ目としては、ちゃんと「素数」の掛け算で表しているかという点です。「素数」とは1とその数自身以外に約数をもたない数のことです。「2」「3」「5」などは、1とその数自身以外に約数を持たないので素数です。「4」「6」などは、1とその数自身以外にも「2」や「3」といった約数を持つので素数ではありません。そして、勘違いしやすいですが「1」も素数ではありません。
よって
24=2×3×4
7=7×1
などは素因数分解ではないのです。

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素因数分解の例

では素因数分解の例を見ていきましょう。
「30」、「45」、「64」の素因数分解はそれぞれ下のようになっています。

「45」「64」のように素因数分解では同じ素因数が2個以上出てきたら、累乗でまとめます。
「3×3×5」「2×2×2×2×2×2」のようには書かないので、注意しておきましょう!

素因数分解は素数を覚えるのが大事

「自然数を素数の掛け算で表す」操作である素因数分解を行うには、素数をある程度覚えておかないといけません。どれが素数でどれが素数でないのかわからないと、適切に素因数への分解ができないからです。そこで、高校受験〜大学受験レベルまでで覚えておくべき素数を下にまとめてみました。

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29

この10個の素数は是非暗記しておきましょう。といっても、ただの数字の羅列を丸暗記するというのはなかなかしんどいかもしれません。ですのでこの素数たちの覚え方として、私の使っていた語呂合わせを紹介しましょう。

兄さん5時にセブンイレブン、父さん「いいな!」と行く。兄さん肉。
(2) (3) (5)  (7)  (11)   (13)   (17)    (19)  (23) (29)

最後の「兄さん肉」の無理矢理感が強いですが、そこはご了承ください(笑)

素因数分解のやり方

いよいよ素因数分解のやり方に移ります。
素因数分解の基本操作としては、「元の自然数が1になるまで、素数で割ることを繰り返す」です。
具体例として、「60」を素因数分解してみましょう。

素因数分解をする際には、まず一番小さな素数から順に、元の自然数が割れるかどうかを試していきます。
60は一番小さな素数「2」で割れるでしょうか?

60÷2=30

無事割ることができましたね。

次に、割って出てきた数「30」も同じように小さい素数で割れるか試していきます。

30÷2=15

これも「2」で割れました。

では「15」は?

15÷2=7あまり1

「15」は「2」では割り切れないようです。こういう時は、「2」の次に小さな素数「3」を試します。

15÷3=5

「3」では割ることができましたね。

では出てきた数の「5」はどうでしょう?ここでは、「2」から試していく必要はありません。なぜなら、「3」で割る以前にもう「2」では割れなくなってしまっていたのですから。このように、素因数分解を進めていく際には、「前回割った素数と同じかそれより大きい素数」だけを試していけばいいんです。

5÷3=1あまり2

どうやら「3」では割り切ることができないようです。よって、「3」より大きい素数「5」を試します。

5÷5=1

ここでようやく「1」が出てきました!素因数分解の基本操作はこれで終了です。

いまやったような操作を筆算の形で書くと、下の図のようになります。

「1」が出てくるまで割り切ったら、割るのに使用した素数、つまり「素因数」をかき集めます。
上の図で色の付いた数「2」「2」「3」「5」が「60」の素因数です。
これを使って、素因数分解の形である、「自然数を素数の掛け算で表した形」をつくります。

最後に指数を使って同じ素数をまとめて、素因数分解の完成です!

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素因数分解の計算問題

それでは素因数分解のやり方が分かったところで、練習問題を解いてみましょう。
答えは「最後に」を終わりの方に載せておくので、後で確認してみて下さい。

素因数分解の例題1

9を素因数分解せよ

素因数分解の例題2

18を素因数分解せよ

素因数分解の例題3

65を素因数分解せよ

素因数分解の例題4

4301を素因数分解せよ

素因数分解の例題5

31を素因数分解せよ

この記事を書いた人
現役で早稲田大学 政治経済学部に合格しました。センター利用だったので主に国公立対策の記事を書いています。 得意科目は英語と国語で、歌うことが大好きです。精密採点DX-Gでの最高得点94.497。95点越えが目標です。

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