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最小公倍数の求め方や性質を全て解説!実際の入試問題の解説付き!

この記事は最終更新日から1年以上が経過しています。内容が古くなっているのでご注意ください。

はじめに

あなたは最小公倍数とは何かわかりますか?

答えに困ってしまった人、この記事で確認していきましょう。
答えられた人も、もしかしたら最小公倍数の性質を全てはわかっていないかもしれません。
この記事では、最小公倍数の意味や求め方といった基礎の解説から始まり、から、大学入試で使える最小公倍数、入試でよく聞かれる問題まで解説します。

センター数学1Aなどで周りの受験生に差を付けたいあなたはぜひ読んで下さい!

最小公倍数とは

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最小公倍数とは、「幾つかの数の共通する倍数(公倍数)の中で最小のもの」という意味です。
例として、6と9の最小公倍数をみてみましょう。

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このように、6の倍数と9の倍数をそれぞれ書き出していって、どちらにも登場する一番小さい数を見つければそれが最小公倍数だとわかります。
しかし、このように倍数を書き出すことで最小公倍数を求めようとすると、とても時間がかかってしまいます。
そんな悩みを解決するために、最小公倍数を簡単に求める計算方法があるのです!

最小公倍数の求め方

最小公倍数の求め方を2つ紹介します。
基本的な解き方となる「すだれ算」と、扱う数が大きいときに使う「ユークリッドの互除法」です。

最小公倍数はすだれ算で求める

最小公倍数を計算で求めるためには、最大公約数の時にも使った「すだれ算」を使います。

最小公倍数の求め方を考える上では、最大公約数の求め方をわかっていることが大事になります。
最大公約数に不安がある人は、次の記事を参考にしてください。

最大公約数の意味と求め方!センター試験で使える解法を紹介

Gr1deekzx9vp658dz2xy71pdglajyyp6qa2nnv0wqebrmwjeo3mrq4lgbkl6wz4l?w=430

24と36をすだれ算で割っていくとこのようになります。
ここまでは最大公約数を求めたときと一緒です。

Mldxd0dmwrz61ekpqxj7ble82lkgoam7mj4oqpxz3v9odyb0w5agjn4vmrrn2pj3?w=430

上の図で赤い○で囲った部分を掛けると最大公約数が求まりました。
最小公倍数を求めるときには、赤い○で囲った部分に併せて、青い○で囲ったすだれ算の最後の商も掛けます。

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より、24と36の最小公倍数は72です。
並べて求めると
24の倍数:24,48,72...
36の倍数:26,72,108...
なので、この計算が合っていることがわかりますね。

(計算方法その2)ユークリッドの互除法を使う

すだれ算では、数が大きくなってくると計算で求めるのが大変です。
そんな場合には、①ユークリッドの互除法を用いて最大公約数を求め②2つの数の積を最大公約数で割ることで最小公倍数を求める方法があります。
平成28年度センター試験追試験では、まさにこの方法を用いて最小公倍数を求める問題が出題されました。

0165gbexk9a28lmvq46dmwgn50kzo8qlg4qaxglbbjzpreqv3wy7prd1ojojevb4?w=430

独立行政法人大学入試センターHPより引用

ユークリッドの互除法を使って、407と481の最大公約数は37とわかります。
最大公約数と最小公倍数の積は、もとの数字の積に一致するので
求める最小公倍数をxとすると

Gzpjdpzkep6oar3qnd2glbexbqymyp9nwxwo5r9kmjj8dv4xwgw01v7lpz2klrv6?w=430

となり、大きな数の最小公倍数を求めることができました。

最小公倍数と最大公約数の違いは

最小公倍数と最大公約数、言葉は似ていて勘違いしてしまいがちです。「最小」や「最大」と付いていてどちらが大きいのかもわかりにくいです。
しかし、先程見てきたように最小公倍数と最大公約数の求め方から考えるとその違いがよくわかります。
最小公倍数は、「公倍数」つまり2つの数に共通する倍数の中で最も小さいものです。
最大公約数は、「公約数」つまり2つの数に共通する約数の中で最も大きいものです。
つまり公約数は元の数以下の大きさ、公倍数は元の数以上の大きさとなるわけです。
大小関係で並べると、
その他の公約数≦最大公約数≦元の数の小さい方≦元の数の大きい方≦最小公倍数≦その他の公倍数
というわけです。
つまり、最小公倍数と最大公約数では最小公倍数の方が大きいというわけです。(2つの同じ数の最小公倍数と最大公約数を考えるときのみ2つは一致します。例えば、10と10は最小公倍数も最大公約数も10です。)

最大公約数についての記事も参考にしてください。
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素因数分解で考える最小公倍数

最小公倍数を勉強しているあなたならば、素因数分解という言葉は聞いたことがあると思います。
素因数分解は実は最小公倍数を考える上で大事なものなのです。

ここで、最小公倍数の求め方を一つ紹介します

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言葉で書いてもわかりにくいので先ほどの24と36の例で見てみましょう。

3jmr1oql8xvxkpbgwbzzmqdr94j5akwa3egak0p71lyd3jemnev2w6rgao2qkprd?w=430

素数は2と3が登場しています。2については3乗、3については2乗が最大ですね。
よって最小公倍数は

Nmavrqmo3pmedjbwr7z6alqd1znwyo6ekeenyx8xvlqk92eb4vrpgkj05gbjgm70?w=430

より72だとわかります。

素因数分解のやり方に不安がある人はこちらの記事を読みましょう!

素因数分解のやり方を早大生が分かりやすく解説!計算問題も付いてます

最小公倍数と最大公約数を使った応用問題

Oyzvgzwkdz8megekq25xwmdo3nl4y5oagypax6vlyqjzp1rabr7bv9pgj09krjjq?w=430

さて、ここまで最小公倍数について求め方を中心に見てきました。
しかし、実際に大学入試で最小公倍数や最大公約数を扱うときはただ求めるだけではなく、「整数問題」に絡めた形で出題されることが大半です。

それでは1問整数問題を解いてみましょう。

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これまでの「○○と△△の最大公約数、最小公倍数を求めよ」という問題とは逆に、最大公約数と最小公倍数から2つの数を求める問題です。

この手の問題を解くためには、最大公約数と最小公倍数の性質を駆使することが必要です。
よく使うポイントが「最小公倍数と最大公約数の積は元の数の積」です。

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最後に

最小公倍数・最大公約数は計算を理解するのも大変ですが、入試問題では更に奥深く抽象的な議論をしなければいけません。
そのためにも、まずは今回お話ししたような「求め方」や「基本的な性質」をしっかり理解しておくことが大切です。

あなたが最小公倍数・最大公約数、ひいては整数問題を得意にできるのを応援しています!

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