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【部分積分法】公式や証明のコツを解説!例題を使った覚え方

この記事は最終更新日から1年以上が経過しています。内容が古くなっているのでご注意ください。

はじめに

高校3年生の理系志望にとって、受験勉強のために数学1A2Bの範囲を復習しながら新しく習う数学3の範囲を理解することはとても難しいことです。
「教科書レベルの例題は解けても入試レベルの問題には太刀打ちできない」
という状況になってしまうのも無理はありません。

ですがまだ諦めてはいけません!
数学3は計算が多いだけで問題内容自体はそこまで難しくありません。
特に微分積分の単元は、数学2の内容を応用しているだけなのです!
逆に数学3の内容を完璧に理解してしまえば、数学2の微分積分の問題を解く時に利用できます。
怖がらずに数学3に挑んでいきましょう!

今回の記事では、数学3の範囲の中でも理解しにくい「部分積分法」について説明します。
今のあなたは余裕で因数分解や証明問題をこなせるのではないでしょうか。
多くの積分計算問題が出題される入試本番では、その時と同じくらい余裕で部分積分を計算できるようになる必要があるのです。

ご安心ください。
この記事に書いてある部分積分法のコツを学び、例題を私と一緒に計算練習していけば、自然と「部分積分法」という積分の計算方法が身につきます!
ぜひ部分積分法のコツを完璧にマスターしていってください。

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部分積分法とは??

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部分積分法とは、数学3の問題を解く時によく利用される積分方法の一種です。

数学で新しく習うことを理解するために必要なことは、公式を丸暗記することではなく、とにかく自分の手で簡単な計算してコツをつかむことです
まずは部分積分法のイメージを掴みましょう!

部分積分の公式

最初に、部分積分の公式を載せておきます。
公式を見ながら簡単な問題を計算を解くことが確実に早く理解し、イメージを掴むためのコツです。

公式を丸暗記するのではなく、公式を見ながら実際に問題を解くことで理解しながら覚えていきましょう。

【部分積分の公式(不定積分ver.)】

B6qz8enj7ew8vjz1ok3zmmwd9gqqndkg13gavpx5ldxkyrl4r20gbpba6epl5gpr?w=430

不定積分の場合の積分定数は、最後の積分を計算し終えた段階で付け加えましょう。

【部分積分の公式(定積分ver.)】

Oyzvgzwkdz8megekq25xwmdo3nl4y5oqewaax6vlyqjzp1rabr7bv9pgj09krjjq?w=430

公式だけではわかりにくいですよね…
公式を見ながら簡単な部分積分の練習しているうちに、部分積分についての自分なりのコツを掴むことができました。

それは、

(右の式が微分された形のかけ算の積分)
=(右の関数が微分される前のかけ算)-(左の式が微分されたかけ算の積分)

というイメージです。
実際に例題をといてみないと分からないイメージですし、私だけに合うコツかもしれません。

このように、自分にピッタリ合うイメージを見つけることが部分積分のみならず数学を得意になるコツです。
実際に自分で何度か例題を解いているうちに自分なりの部分積分のコツを掴めるようになります。

公式を見ながら実際に問題を解いてみましょう。

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部分積分の例題を解いてみよう!

簡単な例題から解いていきましょう。
最初は部分積分法を用いなくても求められる積分問題を、あえて部分積分で解いてみることで部分積分のコツを掴むことができます。

【例題1】

次の積分を、部分積分法を用いて計算しなさい。積分定数をCとする。

Ng1wm8d50rleg1zbypw7z2kdpqemy6g8krwol8brjvokagvmxn3j694wqx4owelv?w=430

【解説】

Rwzpnb94wldr05endjpmyeowkxqpokzgo1eyx7rjb28zzvqv3a6bmklgg1yj6z4v?w=430

9mm8z0kr435w0rmlq1nalg7qxod2y2kmxmpo9zgxebpvzjkw6pbvyd8jem31wxld?w=430

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もう少し部分積分の流れを見てみましょう。

【例題2】

部分積分法を用いて次の積分を計算しなさい。積分定数をCとする。

A2nj8vwdxrzk7qj5jb3rmg1ep94yy4k9ewpnv2evn6okdb0lwlapmxg8zqmpdgkg?w=430

【解説】

まずは先程の公式を見ながら計算してみましょう!

E208bwkevmxqg9bk5d4qgxlzzp0dnwj6kwdaj6jmyeor3n7alv8bwp2wr1qryg13?w=430

Rwzpnb94wldr05endjpmyeowkxqpokzgojvyx7rjb28zzvqv3a6bmklgg1yj6z4v?w=430

30rgj80m8g1gnqy2arwmb6vxvzejnxp9meyn7djk4p9qlebzl5r3oxdkwpwlmdl9?w=430

となります。

先程の例題と比べて計算しやすそうですよね!
このように、部分積分法を使えば想像していたよりも楽に計算できるようになる問題があるのです!
計算が楽になるのであれば、ぜひ使いたいですよね。
部分積分法を確実に使いこなせるようになりましょう!

部分積分法のコツ!

「じゃあ部分積分法をいつ使えば楽に計算できるの??」
という疑問があなたの頭の中に浮かんできていると思います。
何回も部分積分法を使って問題を解いてきた私が、その経験から分かった部分積分法の使い方のコツを教えます!

①2つの関数の積を積分する時

Gzpjdpzkep6oar3qnd2glbexbqymyp9ndvpo5r9kmjj8dv4xwgw01v7lpz2klrv6?w=430

積分しなくてはいけない式が2つの関数の積で表されている時、
「部分積分法が使えるかも!」と頭の片隅で思い浮かべてください。

ここで気になるのは、例題2のように部分積分法を使うことで計算が楽かどうかということですよね。
部分積分を使うことで問題を楽に計算できるようになる、あるいは普通には計算できなさそうな形の積分を計算できるようになるのは、

A2nj8vwdxrzk7qj5jb3rmg1ep94yy4k9pkvnv2evn6okdb0lwlapmxg8zqmpdgkg?w=430

を積分する時です。

たとえば、

Ode1kq7q1ypnmrkb06dz58xajx3my9glapvalvwg9gowvdelqbrz4pek2j4ygnrj?w=430

といった関数の組み合わせです。

同じ種類であれば、式変形でもっと簡略化できることもあるので式変形してから積分してみると解けることがあります。
しかし、指数関数と三角関数、対数関数と三次式などの種類が異なる関数の積であれば式変形できないことが多いので、部分積分法を選択肢の1つとして考えておきましょう。

②両方微分してみて、複雑な形になる方を微分前の形に戻そう!!

L470m9prldqnbe4lpxzxkmawkgj8amy2dznady5qr319obezv6v7jwm02gqvjlpk?w=430

ここは少しややこしいです!踏ん張ってください!

いつもいつも右側を微分前の形に戻してもうまく部分積分できるとは限りません!
微分前の形に戻す関数を選ぶにはコツがあります。
微分してみて簡単な形にならないものを、微分前の形に戻します。(ややこしいですね…)

◎具体的には、eやsin、cosを微分前の形に戻します!
部分積分をする前に微分前の形にするものは右に持ってくると、
先程紹介したように右を微分前の形に戻して左を微分するというイメージが掴め、分かりやすくなります!

cosやsinなどの三角関数とeの指数関数の積を部分積分する際には、eを微分前の形に戻すとうまく部分積分できることが多いです!


部分積分法において、どちらの関数を微分前の形に戻すかはとても重要です。
間違えてしまうと永遠に部分積分を終えることができないなんてこともあります。
ここで紹介したコツを参考にして計算すると、自分なりの判断基準を手に入れることができるので、計算練習を積んでみてください。

③対数関数の積分

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対数関数の積分公式は覚えることが大変なので、部分積分法で計算できることを知っておくと自分で導出・証明ができるようになります。

ただし、対数関数の積分に必要なコツは知っておく必要があります。
思いついた人、すごいですよね?

また、対数関数を含む関数を部分積分する場合も、対数関数ではないほうの関数を微分前の形に戻しましょう◎

【対数関数の積分】

積分定数をCとする。

A2nj8vwdxrzk7qj5jb3rmg1ep94yy4k9p9nnv2evn6okdb0lwlapmxg8zqmpdgkg?w=430

P9emmoxz9wr5q0zy8jalk42dg6wgym1gljjynx7veo3vdpj1qlmmbpkreb7vrzqd?w=430

Pa2kwyap4zyke0exqmvwkw3qdrlvyreg7rqn85zmpdobgbj627xr1gn9ljz4l7vd?w=430

logxに1(xを微分したもの)をかけて、部分積分法を用いると、後々xと1/xが打ち消し合うという…
思いついた人ほんとすごいですね。
こんな計算しやすい方法、利用しないわけにはいきませんね!

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部分積分の例題を見てみよう!

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ここからは練習問題を実際に解いてみて部分積分法の公式を使いこなすコツを掴んでいきましょう。
不定積分だけでなく定積分の練習もしましょう!

【例題3】

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【解説】

さて、先程のコツを使っていきましょう!

まずはどちらを微分前の形に戻すかです。
微分して複雑なほうの関数…この問題であればcosxを微分したほうが複雑な形になるので、cosxを微分前の形に戻しましょう!

Xpdjjzmwzmqo19dlvrbl4kjnwgegnp7ervwa76b2xdprpayv805e3kxqjzolwg2l?w=430

Gr1deekzx9vp658dz2xy71pdglajyypa6eknnv0wqebrmwjeo3mrq4lgbkl6wz4l?w=430

例題3の問題は、少ない計算量で解くことができましたね!

【例題4】

積分定数をCとします。

4xrjlwm6xv2dwdy0gbnoe7rka9lkydwxxqxnjx5b4vr1qg38pemjpqzwzloeraed?w=430

【解説】

ここでは対数関数を含む関数を部分積分するので、対数関数ではない方の関数xを微分前の形に戻しましょう!

Gzpjdpzkep6oar3qnd2glbexbqymyp9nn4wo5r9kmjj8dv4xwgw01v7lpz2klrv6?w=430

Ng1wm8d50rleg1zbypw7z2kdpqemy6g8l2dol8brjvokagvmxn3j694wqx4owelv?w=430

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例題4は対数関数の積分の時と同じような解き方になりましたね!

【例題5】

Kmzev24gpja3b0bddlkworvyejnmnxq0g7vyme62pkgzq7l159xzrxwqv895qdgy?w=430

【解説】

今回の問題では指数関数eも三角関数sinxも含んでいるので、eを微分前の形に戻しましょう!
eを微分前の形に戻すことで、他の問題とは異なる面白い解法になります!
最初からこの解法を思いつく必要はありません。
まずは解答を見て、その後で自分で解けるようになりましょう!。

積分定数をC1、C2とします。

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B6qz8enj7ew8vjz1ok3zmmwd9gqqndkg3m6avpx5ldxkyrl4r20gbpba6epl5gpr?w=430

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Ng1wm8d50rleg1zbypw7z2kdpqemy6g8lqwol8brjvokagvmxn3j694wqx4owelv?w=430

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やっと答えを求められましたね(汗)

数学3ではこれくらいの問題が簡単な方になってしまいますが、コツを掴んでしまえば計算量が多いだけの問題なので、めげずに勉強していきましょう!

例題5の応用でn乗の関数が出てきた場合、漸化式との融合問題である可能性が高いです。数学3だけでなく数学2の範囲も関わってくるため、幅広い数学の力が必要になります。

入試で出題された部分積分の例題

Mldxd0dmwrz61ekpqxj7ble82lkgoa0bq93yqpxz3v9odyb0w5agjn4vmrrn2pj3?w=430

部分積分はそれ自体が問題の中心分野になるのではなく、途中計算として出題されることが多くなっています。積分計算の一種なので、数学3の範囲の問題であれば出現頻度は多くなるでしょう。

実際に途中計算で部分積分が必要になる例題を見てみましょう。

2014年度の中央大学理工学部の数学の入試で出題された問題の類題を紹介します。

Gq7xp6dk2xkdbm67rw1nx5lylzewygmqad9aeqzv9v3j8qbppjr4gaom0gbxjjzz?w=430

大問の(1)で部分積分法を使って積分計算するこの問題が出題されています。
つまり、部分積分法を使うことができなければ大問1つ分の点を落とすことになります。

運良くこの例題では、部分積分法を使って計算することができれば点数を稼ぐことができますが、
多くの問題では途中計算として出題されるため、部分積分だけできても点にはなりません。

入試問題では、部分積分の計算ができて当たり前なのです。

この記事を読んで部分積分法のコツを掴んで入試本番までにできるようにしましょう!

最後に

ここまで、
・部分積分の公式
・部分積分のコツ
・部分積分の例題
・部分積分を使った入試問題の類題
を見てきました。
今はまだ入試問題を解けるレベルまで部分積分法のコツを掴んでいなくて構いません。
この記事は部分積分のイメージと手順を掴んでもらうための内容になっています。
部分積分はコツを掴んでしまえば普通の計算技術として使えるようになります。
部分積分が不安になったときは、簡単な問題に立ち返ってイメージを掴み直してください。

本記事を読んでくれたあなたが部分積分法のコツを掴み、数学3の部分積分の問題を溶けるようになって大学に合格してくれることを願っています!

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この記事を書いた人
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慶應義塾大学 理工学部に通っています。1人旅が趣味で、得意科目は数学と英語です!

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