【中学数学】中点連結定理の証明と問題!台形にも使える便利な定理!?

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はじめに

あなたは中点連結定理をちゃんと使いこなせますか?中点連結定理は三角形だけではなく、台形にも使えるって知ってました?

中学数学の図形分野の中でも有名な定理が,この中点連結定理です。これをしっかり理解していないと、高校入試の図形問題で高得点を獲得するのは難しくなるでしょう。

しかし心配しなくても大丈夫!この記事では中点連結定理がいまいちよくわからない…というあなたのために、基礎から証明までわかりやすく解説しています!
軽い計算問題や、実際の入試問題における使われ方も載せているので、実戦に役立つこと間違いなしです。

中点連結定理とは?

中点連結定理とは、三角形のある2辺の中点を結んでできた線分は、残りの1辺に平行であり、長さはその半分であるという定理です。

図で説明すると、下の三角形ABCにおいてAB,ACの中点をそれぞれM,Nとすると

MN//BC
MN=1/2BC

が成立します。

中点連結定理の証明

では、なぜこのような中点連結定理が成立するのか証明してみましょう!
中点連結定理の証明の軸は「平行四辺形の性質」です。もし平行四辺形の知識をだいぶ忘れているようなら、この機会に復習をしておきましょう。

まず、下図のようにMNを延長し、MN=MDとなる点Dをとります。
そして点Dと点A、Cを結び、さらに点Mを点Cと結んで、四角形をつくります。

ここでできた四角形ADCMの対角線に着目すると、AN=NC、MN=NDより対角線がそれぞれの中点で交わっているので、
四角形ADCMは平行四辺形ということがわかります。

よって、平行四辺形の性質「向かい合う辺は平行かつ等しい」より

AM=DC
AM // DC

がわかります。
また、AM=MBなので、

DC=MB
DC // MB 

となり、向かい合う辺が平行かつ等しいので四角形MBCDも平行四辺形ということがわかります。
よって平行四辺形の性質より

MD=BC
MD // BC

がわかります。
ここでMN=1/2MDだから、

MN=1/2BC
MN // BC

が示されました。

台形の中点連結定理

中点連結定理は三角形にしか使えない…、そう考えている人も多いかもしれません。
しかし!なんと便利なことに中点連結定理は「台形」にも使えちゃうんです!三角形だけではなく四角形にも使えるなんて、一気に活用の幅が広がりますよね。

さて台形の中点連結定理ですが、基本的には三角形の中点連結定理と似ています。2辺の中点を結んでできた線分が、残りの2辺と平行になる、というところまでは同じです。ちょっと違うのは、そうやってできた線分の長さが、「上底と下底の長さの和の半分」に等しい、というところです。

ちょっとわかりにくいので図で見てみましょう。下の台形ABCDにおいてAB,DCの中点をそれぞれM,Nとすると

MN//BC
MN=1/2(AD+BC)

が成立します。

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この記事を書いた人
現役で早稲田大学 政治経済学部に合格しました。センター利用だったので主に国公立対策の記事を書いています。 得意科目は英語と国語で、歌うことが大好きです。精密採点DX-Gでの最高得点94.497。95点越えが目標です。

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