Xpdjjzmwzmqo19dlvrbl4kjnwgegnp7mkdqa76b2xdprpayv805e3kxqjzolwg2l

【対数関数】グラフと公式は完璧!?基本的な対数計算から詳しく解説!

この記事は最終更新日から1年以上が経過しています。内容が古くなっているのでご注意ください。

はじめに

センター試験や国公立大学の二次試験、私立大学の試験でも頻出の範囲である数学2。
あなたは、数学2の内容を確実に理解できていますか??
私が現在通っている慶應義塾大学の入試でも、数学2を扱う問題は何度も出題されてきました。

今回の記事では、そんな数学2の中でも表記方法がかなり特殊な対数関数に焦点を当ててみましょう。
対数関数の単元では、独特なグラフやlogや底などの難しそうな見た目をした文字が多く出てきます。

ですが、怯えることはありません。
あなたは、教えてもらいながら自分の手で計算して数学の問題を解いてみると、「何だこんな簡単なことだったのか」と思うことはありませんか?
対数関数でも同じことが体験できます。

本記事で対数の基本を解説した上で、対数関数のグラフの書き方や典型的な対数関数の問題を紹介しているので、学びながら自分の手でグラフを書いたり計算をしてみてください。

この記事を読んで、対数と対数関数の基礎を完璧にしましょう!

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対数関数とは?

3jmr1oql8xvxkpbgwbzzmqdr94j5ak5lnrvyk0p71lyd3jemnev2w6rgao2qkprd?w=430

対数関数とは?

対数関数とは、

Xlx4qzwrmeqd2wzb79byxgvp4px5yw0pam2o01r3nkemdkzjlago8vlj6qb5dor9?w=430

と表される式のことを言います。(定義)

右辺の

E208bwkevmxqg9bk5d4qgxlzzp0dnwjdmw4aj6jmyeor3n7alv8bwp2wr1qryg13?w=430

は、「aを何乗すればxになるか」を表しており、対数と呼ばれます。

このことから

Gwamrp8bzqy4jar9ldbemxg7p6e3nzkpqlgyjkowzrvd0kl52qnv1wgmxp9empvw?w=430

という表し方もあります。
「aを何乗すればxになるか」表した数字でaを累乗しています。


そしてaを「底」、xを「真数」と呼びます。
「真数」xは必ず正です。
これを真数条件と言います。

「対数関数」とは、右辺が「対数」になっている「関数」のことです。

【例題】

30rgj80m8g1gnqy2arwmb6vxvzejnxpd7l9n7djk4p9qlebzl5r3oxdkwpwlmdl9?w=430

左辺は「5を何乗すれば25になるか」を表しているので、右辺は2になります。

Kllxrwjq1b5gpdmbylazdex0qvvknezpw45yxr8zwlp7eogj923k6mnr4w1b9qmo?w=430

は「5を何乗すれば26になるか」を表していますが、私達が有限の数字に表記し直すことができないので、これ以上式変形できません。
具体的な数字として表せない場合に対数で表記します。


ここからは、なぜ真数条件が成立するかを説明します。
興味のない方、難しいものを見たくない方は飛ばして【重要】を見てください。



真数条件を説明するためには、
指数と対数の関係を知る必要があります。

ここで、指数関数

を考えます。aが正なのでyはxの値に関係なく正です。

aをx乗すればyになるので、対数の考え方をすると、

Xpdjjzmwzmqo19dlvrbl4kjnwgegnp7eabka76b2xdprpayv805e3kxqjzolwg2l?w=430

と表すことができます。(ここがとても難しいのでじっくり考えて理解してください。)

xとyが入れ替わっています。
ここでは、「指数と対数の関係は、なんとなく逆のものを表しているんだ」くらいに捉えてください。

なぜ真数が正になるか、でしたね。
最初に指数関数を考えたときにyはxの値にかかわらず正でした。
対数の考え方をすると、そのyが真数の場所に来るので、真数は正になります。

【まとめ】

・対数関数とは、

Dvxngojz45zvbg2kwaxeq3vnrmdyoe0egdwypd8qwpb16o9klrem0x7glj0ga21m?w=430

と表される式のこと

・対数関数の「底」とは、aのこと

・aは正の実数で、a≠1

・(ⅰ)式において真数条件x>0

対数計算で注意すべき3つのこと

対数計算や対数の問題では必ず以下の3つのことに注意してください。

・対数の【真数条件】(真数)>0、(底)>0、(底)≠1を確認すること

・0<(底)<1のときと(底)>1のときでは真数の大小と対数の大小の対応が逆転すること
・底を統一しないと計算できない



言葉での説明は難しいので、順番にかんたんな説明を見ていきましょう。

・対数の【真数条件】(真数)>0、【底の条件】(底)>0、(底)≠1を確認すること

真数条件と底の条件については先程説明しました。
基本的な前提条件ではあるのですが、大学入試問題の記述式の試験などで条件として答案に書くことを忘れてしまう人が多くなっています。
必ず答案に【真数条件】と【底の条件】を書きましょう。

・0<(底)<1のときと(底)>1のときでは真数の大小と対数の大小の対応が逆転すること

【(底)>1のとき】
大小関係が

5e63jkknj6me2rzq4jgp0my5qg1wnnmpbg0adw7bxrokpbz89vaxledlv3erzvow?w=430

になります。

左端の式は「5を何乗すれば25になるか」
真ん中の式は「5を何乗すれば28になるか」
右端の式は「5を何乗すれば125になるか」
を表しています。

真数が大きいほど対数が大きくなっています。つまり真数の大小と対数の大小が対応しているという言い方ができます。

【0<(底)<1のとき】
底を累乗する数が増えれば増えるほど数字は小さくなり、小さければ小さいほど(負になればなるほど)大きくなります。

Pa2kwyap4zyke0exqmvwkw3qdrlvyred2v5n85zmpdobgbj627xr1gn9ljz4l7vd?w=430

で考えてみましょう。

0165gbexk9a28lmvq46dmwgn50kzo8qgxmqaxglbbjzpreqv3wy7prd1ojojevb4?w=430

と考えると、

0165gbexk9a28lmvq46dmwgn50kzo8qgxjoaxglbbjzpreqv3wy7prd1ojojevb4?w=430

と式変形できるので

Dvxngojz45zvbg2kwaxeq3vnrmdyoe0egrxypd8qwpb16o9klrem0x7glj0ga21m?w=430

のように求めることができます。

つまり大小関係は

9eonlbw6ek2lx5d0jbgxw7azroj1nqdkzwyaqnmyvg4klbpdq89vz3merpj5g31v?w=430

のようになります。

(底)>1の時と同じ数値を用いると

Jmjalez47eamldjrgj3yxdrlnq2xnzmz322ampv8wp9wzbk5gqob1k6ve0zd7e0d?w=430

と求められます。

・底を統一しないと計算できない

対数計算では、底を揃えることが最も重要になります。
分数計算で言う分母を揃えるみたいなものです。

底を揃えるためには、底の変換公式を使います。
必ず覚えてください。

【底の変換公式】

Lrkby3xy7okgzl69k4r15neajgpjy1z2owdo0q2em8mqxd3dlbvrvbwpwzmd458a?w=430

この公式で底をcという別の数字に統一できます。
底の数字が下に来ます。
底という漢字を使っているので下に来ると覚えていました。

最初は公式を見ながらでいいので、自分で実際に計算してみましょう。

【例題】

Gd3qdbx7qqbdove0l2wgzmpvg3wpyl5plrgoykm6r4baked58jjzl19nxrlkg015?w=430

Wgypb7dnvo1bgqy0plklprjg29wqajdexrzyz4edwk5b78va3jm6rexzmx0vv9dx?w=430

【まとめ】

どんなに複雑そうな対数の問題でも、

・対数の【真数条件】(真数)>0、(底)>0、(底)≠1を確認すること

・0<(底)<1のときと(底)>1のときでは対数の大小関係は逆転すること

・計算の一番最初で

Gr1deekzx9vp658dz2xy71pdglajyypdb81nnv0wqebrmwjeo3mrq4lgbkl6wz4l?w=430

を用いて底を統一すること

の3つを確実に行いましょう!

対数計算の2つのコツ

対数計算のコツは

(ⅰ)底の変換公式を使って底を統一する
(ⅱ)対数の性質を用いて1つの対数とするか、和差の形に分ける

の2つあります。

(ⅰ)底の変換公式を使って底を統一する

9eonlbw6ek2lx5d0jbgxw7azroj1nqdkkgmaqnmyvg4klbpdq89vz3merpj5g31v?w=430

を使って底を揃えます。
底が同じでないと次の対数の性質が使えません。

(ⅱ)対数の性質を用いて1つの対数にまとめるか、和差の形に書き直すか

よく使う対数の性質を3つ紹介します。

Dvxngojz45zvbg2kwaxeq3vnrmdyoe0eqjgypd8qwpb16o9klrem0x7glj0ga21m?w=430

9eonlbw6ek2lx5d0jbgxw7azroj1nqdkkm5aqnmyvg4klbpdq89vz3merpj5g31v?w=430

3jmr1oql8xvxkpbgwbzzmqdr94j5akwpmavak0p71lyd3jemnev2w6rgao2qkprd?w=430

また、当たり前だけど戸惑ってしまう式変形に

0165gbexk9a28lmvq46dmwgn50kzo8qgmdnaxglbbjzpreqv3wy7prd1ojojevb4?w=430

などがあります。

実際に計算して対数計算のコツを身につけましょう。

Xpdjjzmwzmqo19dlvrbl4kjnwgegnp7ewbqa76b2xdprpayv805e3kxqjzolwg2l?w=430

Wgypb7dnvo1bgqy0plklprjg29wqajdexy6yz4edwk5b78va3jm6rexzmx0vv9dx?w=430

【まとめ】

・まずは

Jmjalez47eamldjrgj3yxdrlnq2xnzmzk6mampv8wp9wzbk5gqob1k6ve0zd7e0d?w=430

を用いて、底を統一させる

・対数の性質

Ode1kq7q1ypnmrkb06dz58xajx3my9gq6vyalvwg9gowvdelqbrz4pek2j4ygnrj?w=430

9mm8z0kr435w0rmlq1nalg7qxod2y2klpvgo9zgxebpvzjkw6pbvyd8jem31wxld?w=430

5e63jkknj6me2rzq4jgp0my5qg1wnnmpqpyadw7bxrokpbz89vaxledlv3erzvow?w=430

を用いて式変形してまとめる。

対数関数のグラフを知ろう!

5e63jkknj6me2rzq4jgp0my5qg1wnnmkreoadw7bxrokpbz89vaxledlv3erzvow?w=430

対数関数のグラフ

対数関数のグラフは、底の大きさによって形が変わります。

(底)>1、0<(底)<1の場合についてグラフを見ていきましょう!

(底)>1の場合

Dzw5nqlm8jxv7rrjz2ok1ee4an3ynv7d747ylqbqwbpg05x6mzgwdk9dpv2jx1db?w=430

0<(底)<1の場合

Rzdqr5pkmqjd5oll4p820bzrba7gybxlxeqa9xwnrjmd3qvgeexvy1k6wzyj0kl1?w=430

(底)>1のとき単調増加、0<(底)<1のときは単調減少になってますね。

また、どちらの場合も(1,0)を通ってます。

指数関数と対数関数のグラフの関係を掴む!

指数関数と対数関数の関係も、底の大きさで場合分けしてみてみましょう!

(底)>1の場合

3jmr1oql8xvxkpbgwbzzmqdr94j5akwbwneak0p71lyd3jemnev2w6rgao2qkprd?w=430

0<(底)<1の場合

L470m9prldqnbe4lpxzxkmawkgj8amybym3ady5qr319obezv6v7jwm02gqvjlpk?w=430

どちらの場合も、指数関数と対数関数はy=xに対して対称で、指数関数はx軸が漸近線、対数関数はy軸が漸近線になっています。

0<(底)<1の場合は、指数関数と対数関数、y=xが一点で交わっています。

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対数関数の微分・積分の公式紹介!

Xlx4qzwrmeqd2wzb79byxgvp4px5yw0wlbko01r3nkemdkzjlago8vlj6qb5dor9?w=430

【対数関数の微分形】

対数関数の微分の公式は1つしかありませんが、底がネイピア数出ない場合・絶対値がついた場合・合成関数の微分になる場合があるので、それぞれ公式として紹介しています。

対数関数の微分公式

Pa2kwyap4zyke0exqmvwkw3qdrlvyre9ex6n85zmpdobgbj627xr1gn9ljz4l7vd?w=430

底がネイピア数の場合の対数関数の微分公式

Gd3qdbx7qqbdove0l2wgzmpvg3wpyl5b5raoykm6r4baked58jjzl19nxrlkg015?w=430

絶対値のついた真数を持つ対数関数の微分公式

Ode1kq7q1ypnmrkb06dz58xajx3my9g1gzvalvwg9gowvdelqbrz4pek2j4ygnrj?w=430

真数部分に関数が入った対数関数の微分公式

9mm8z0kr435w0rmlq1nalg7qxod2y2k1kqno9zgxebpvzjkw6pbvyd8jem31wxld?w=430

【対数関数の積分形】

0165gbexk9a28lmvq46dmwgn50kzo8qel3oaxglbbjzpreqv3wy7prd1ojojevb4?w=430

対数関数の不定積分の証明にはよく部分積分法が用いられます。

部分積分については、下の記事に詳しく書いているので、ぜひ読んでみてください!

↓↓↓↓↓↓↓↓

部分積分】公式や計算のコツを詳しく解説!~部分積分法はこれで完璧~

上に書いてある公式は、底がネイピア数の場合の公式になっています。

底がネイピア数以外の正の実数のときにはどうすれば…

?!!!

ここで底の変換公式です!
底の変換公式を用いて、底をネイピア数に変えてやりましょう!

【例題】底が3の対数関数を積分するとき

Vbvbxw6adqr29jokme3zvexq1lzgnvbloydn4jdlkvb80bmg5xw7rywpnpwkkomp?w=430

4xrjlwm6xv2dwdy0gbnoe7rka9lkydwb157njx5b4vr1qg38pemjpqzwzloeraed?w=430

と、式変形することで公式を使うだけで積分できるようになります!

対数関数の応用問題を解く!!!

対数方程式

対数方程式では、解き始める前にまず

・真数条件、底の条件を確認する
・底を統一する

の2つを徹底してください。
真数条件とは、「(真数>0)」のことです。
底の条件とは、「(底)>0、(底)≠1」のことです。

対数不等式の場合も対数方程式と同じ解き方で解けますが、
真数条件と底の条件も不等式で表されているため、xの範囲の確認に注意を払いましょう。

【パターン①】

Kllxrwjq1b5gpdmbylazdex0qvvknezb0rwyxr8zwlp7eogj923k6mnr4w1b9qmo?w=430

の形に式変形して

E208bwkevmxqg9bk5d4qgxlzzp0dnwjlkxxaj6jmyeor3n7alv8bwp2wr1qryg13?w=430

の方程式を解く

【パターン②】

Kmzev24gpja3b0bddlkworvyejnmnxqmrqvyme62pkgzq7l159xzrxwqv895qdgy?w=430

と置くことで簡単な方程式にして解く

方法があります。

【例題】

Vbvbxw6adqr29jokme3zvexq1lzgnvblowkn4jdlkvb80bmg5xw7rywpnpwkkomp?w=430

真数条件より、x>0
底の条件よりx≠1、x>0

底の変換公式より

Gd3qdbx7qqbdove0l2wgzmpvg3wpyl5brdzoykm6r4baked58jjzl19nxrlkg015?w=430

Mldxd0dmwrz61ekpqxj7ble82lkgoam2k56oqpxz3v9odyb0w5agjn4vmrrn2pj3?w=430

Ode1kq7q1ypnmrkb06dz58xajx3my9g1lqqalvwg9gowvdelqbrz4pek2j4ygnrj?w=430

真数条件と底の条件を満たしているので、答えはx=2


置き換えを用いることで、誰でも解けるような二次方程式の問題になりましたね。

この工夫は次の対数不等式でも用います!

対数不等式

対数不等式では、解き始める前にまず

・真数条件、底の条件を確認する
・底を統一する

の2つを徹底してください。
真数条件とは、「(真数>0)」のことです。
底の条件とは、「(底)>0、(底)≠1」のことです。

【例題】

Gwamrp8bzqy4jar9ldbemxg7p6e3nzkm5zmyjkowzrvd0kl52qnv1wgmxp9empvw?w=430

真数条件より、x>0
底の条件よりx≠1、x>0

底の変換公式より

Gzpjdpzkep6oar3qnd2glbexbqymyp9b4xvo5r9kmjj8dv4xwgw01v7lpz2klrv6?w=430

A2nj8vwdxrzk7qj5jb3rmg1ep94yy4k1zjbnv2evn6okdb0lwlapmxg8zqmpdgkg?w=430

4xrjlwm6xv2dwdy0gbnoe7rka9lkydwb167njx5b4vr1qg38pemjpqzwzloeraed?w=430

これを、真数条件・底の条件と組み合わせて、

0<x<0.5、8<x

となります。

簡単にですが、対数関数を用いた問題を見てきました。
しかし、これで対数関数の問題を全て網羅したわけではありませんし、もっと難しい問題もたくさんあります。

自分で多くの問題を解くことで、数学はできるようになっていきます。
あなたが持っている問題集や参考書で対数関数の問題を自分で解いてみてください。

大学入試問題における対数関数

Gq7xp6dk2xkdbm67rw1nx5lylzewygx5qndoeqzv9v3j8qbppjr4gaom0gbxjjzz?w=430

センター試験にみる対数関数

平成28年度本試験数学2Bの第1問に対数の式変形、グラフ、対数関数の最大値・最小値問題が出題されていました。
センター試験は誘導がついているので問題自体は難しくありません。実際に解いてみてください。

平成26年度の問題では対数不等式の問題が出題されています。

Ode1kq7q1ypnmrkb06dz58xajx3my9g1l52alvwg9gowvdelqbrz4pek2j4ygnrj?w=430

Ejy6kgm58bzjvqr9kbq4v1xrepl7nld0pqpnmwlg6oa2kyedgwdx0znjp3pq5jwr?w=430

大学入試センターホームページ−平成28年度本試験の問題

Gwamrp8bzqy4jar9ldbemxg7p6e3nzkm5jzyjkowzrvd0kl52qnv1wgmxp9empvw?w=430

Xlx4qzwrmeqd2wzb79byxgvp4px5yw0kr7ko01r3nkemdkzjlago8vlj6qb5dor9?w=430

大学入試センターホームページ−平成26年度本試験の問題

二次試験にみる対数関数

平成27年度の東京大学入試問題第3問に指数関数・対数関数の問題が出ています。

Pa2kwyap4zyke0exqmvwkw3qdrlvyre9qjln85zmpdobgbj627xr1gn9ljz4l7vd?w=430

東京大学ホームページ−平成27年度第2次学力試験試験問題

二次試験や数学の記述試験では、実際は対数関数単体という問題は少なく、他の単元との融合問題で出題されることが多いです。

しかし、融合問題を解くには各単元の基礎がわかっていないと話になりません。

まずは確実にすべての単元の基礎を固めていきましょう!

最後に

Ode1kq7q1ypnmrkb06dz58xajx3my9ggqdyalvwg9gowvdelqbrz4pek2j4ygnrj?w=430

今回の記事では
・対数関数とは何か
・対数関数のグラフ
・対数関数の微分積分の公式
・対数関数の例題
・センター試験、二次試験における対数関数
について見てきました。
ですが、対数関数全てを網羅しているわけではありません。
まずは本記事で対数関数の基本的なイメージを掴んでもらい、苦手意識を無くしましょう。
グラフの書き方と公式を覚えて様々な対数関数の問題に挑戦してみてください。

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この記事を書いた人
Oyzvgzwkdz8megekq25xwmdo3nl4y5yvvdayx6vlyqjzp1rabr7bv9pgj09krjjq?w=72
慶應義塾大学 理工学部に通っています。1人旅が趣味で、得意科目は数学と英語です!

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