【対数関数】グラフと公式は完璧!?基本的な対数計算から詳しく解説!

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はじめに

センター試験や国公立大学の二次試験、私立大学の試験でも頻出の範囲である数学2。
あなたは、数学2の内容を確実に理解できていますか??
私が現在通っている慶應義塾大学の入試でも、数学2を扱う問題は何度も出題されてきました。

今回の記事では、そんな数学2の中でも表記方法がかなり特殊な対数関数に焦点を当ててみましょう。
対数関数の単元では、独特なグラフやlogや底などの難しそうな見た目をした文字が多く出てきます。

ですが、怯えることはありません。
あなたは、教えてもらいながら自分の手で計算して数学の問題を解いてみると、「何だこんな簡単なことだったのか」と思うことはありませんか?
対数関数でも同じことが体験できます。

本記事で対数の基本を解説した上で、対数関数のグラフの書き方や典型的な対数関数の問題を紹介しているので、学びながら自分の手でグラフを書いたり計算をしてみてください。

この記事を読んで、対数と対数関数の基礎を完璧にしましょう!

対数関数とは?

対数関数とは?

対数関数とは、

と表される式のことを言います。(定義)

右辺の

は、「aを何乗すればxになるか」を表しており、対数と呼ばれます。

このことから

という表し方もあります。
「aを何乗すればxになるか」表した数字でaを累乗しています。


そしてaを「底」、xを「真数」と呼びます。
「真数」xは必ず正です。
これを真数条件と言います。

「対数関数」とは、右辺が「対数」になっている「関数」のことです。

【例題】

左辺は「5を何乗すれば25になるか」を表しているので、右辺は2になります。

は「5を何乗すれば26になるか」を表していますが、私達が有限の数字に表記し直すことができないので、これ以上式変形できません。
具体的な数字として表せない場合に対数で表記します。


ここからは、なぜ真数条件が成立するかを説明します。
興味のない方、難しいものを見たくない方は飛ばして【重要】を見てください。



真数条件を説明するためには、
指数と対数の関係を知る必要があります。

ここで、指数関数

を考えます。aが正なのでyはxの値に関係なく正です。

aをx乗すればyになるので、対数の考え方をすると、

と表すことができます。(ここがとても難しいのでじっくり考えて理解してください。)

xとyが入れ替わっています。
ここでは、「指数と対数の関係は、なんとなく逆のものを表しているんだ」くらいに捉えてください。

なぜ真数が正になるか、でしたね。
最初に指数関数を考えたときにyはxの値にかかわらず正でした。
対数の考え方をすると、そのyが真数の場所に来るので、真数は正になります。

【まとめ】

・対数関数とは、

と表される式のこと

・対数関数の「底」とは、aのこと

・aは正の実数で、a≠1

・(ⅰ)式において真数条件x>0

対数計算で注意すべき3つのこと

対数計算や対数の問題では必ず以下の3つのことに注意してください。

・対数の【真数条件】(真数)>0、(底)>0、(底)≠1を確認すること

・0<(底)<1のときと(底)>1のときでは真数の大小と対数の大小の対応が逆転すること
・底を統一しないと計算できない



言葉での説明は難しいので、順番にかんたんな説明を見ていきましょう。

・対数の【真数条件】(真数)>0、【底の条件】(底)>0、(底)≠1を確認すること

真数条件と底の条件については先程説明しました。
基本的な前提条件ではあるのですが、大学入試問題の記述式の試験などで条件として答案に書くことを忘れてしまう人が多くなっています。
必ず答案に【真数条件】と【底の条件】を書きましょう。

・0<(底)<1のときと(底)>1のときでは真数の大小と対数の大小の対応が逆転すること

【(底)>1のとき】
大小関係が

になります。

左端の式は「5を何乗すれば25になるか」
真ん中の式は「5を何乗すれば28になるか」
右端の式は「5を何乗すれば125になるか」
を表しています。

真数が大きいほど対数が大きくなっています。つまり真数の大小と対数の大小が対応しているという言い方ができます。

【0<(底)<1のとき】
底を累乗する数が増えれば増えるほど数字は小さくなり、小さければ小さいほど(負になればなるほど)大きくなります。

で考えてみましょう。

と考えると、

と式変形できるので

のように求めることができます。

つまり大小関係は

のようになります。

(底)>1の時と同じ数値を用いると

と求められます。

・底を統一しないと計算できない

対数計算では、底を揃えることが最も重要になります。
分数計算で言う分母を揃えるみたいなものです。

底を揃えるためには、底の変換公式を使います。
必ず覚えてください。

【底の変換公式】

この公式で底をcという別の数字に統一できます。
底の数字が下に来ます。
底という漢字を使っているので下に来ると覚えていました。

最初は公式を見ながらでいいので、自分で実際に計算してみましょう。

【例題】

【まとめ】

どんなに複雑そうな対数の問題でも、

・対数の【真数条件】(真数)>0、(底)>0、(底)≠1を確認すること

・0<(底)<1のときと(底)>1のときでは対数の大小関係は逆転すること

・計算の一番最初で

を用いて底を統一すること

の3つを確実に行いましょう!

対数計算の2つのコツ

対数計算のコツは

(ⅰ)底の変換公式を使って底を統一する
(ⅱ)対数の性質を用いて1つの対数とするか、和差の形に分ける

の2つあります。

(ⅰ)底の変換公式を使って底を統一する

を使って底を揃えます。
底が同じでないと次の対数の性質が使えません。

(ⅱ)対数の性質を用いて1つの対数にまとめるか、和差の形に書き直すか

よく使う対数の性質を3つ紹介します。

また、当たり前だけど戸惑ってしまう式変形に

などがあります。

実際に計算して対数計算のコツを身につけましょう。

【まとめ】

・まずは

を用いて、底を統一させる

・対数の性質

を用いて式変形してまとめる。

対数関数のグラフを知ろう!

対数関数のグラフ

対数関数のグラフは、底の大きさによって形が変わります。

(底)>1、0<(底)<1の場合についてグラフを見ていきましょう!

(底)>1の場合

0<(底)<1の場合

(底)>1のとき単調増加、0<(底)<1のときは単調減少になってますね。

また、どちらの場合も(1,0)を通ってます。

指数関数と対数関数のグラフの関係を掴む!

指数関数と対数関数の関係も、底の大きさで場合分けしてみてみましょう!

(底)>1の場合

0<(底)<1の場合

どちらの場合も、指数関数と対数関数はy=xに対して対称で、指数関数はx軸が漸近線、対数関数はy軸が漸近線になっています。

0<(底)<1の場合は、指数関数と対数関数、y=xが一点で交わっています。

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対数関数の微分・積分の公式紹介!

【対数関数の微分形】

対数関数の微分の公式は1つしかありませんが、底がネイピア数出ない場合・絶対値がついた場合・合成関数の微分になる場合があるので、それぞれ公式として紹介しています。

対数関数の微分公式

底がネイピア数の場合の対数関数の微分公式

絶対値のついた真数を持つ対数関数の微分公式

真数部分に関数が入った対数関数の微分公式

【対数関数の積分形】

対数関数の不定積分の証明にはよく部分積分法が用いられます。

部分積分については、下の記事に詳しく書いているので、ぜひ読んでみてください!

↓↓↓↓↓↓↓↓

部分積分】公式や計算のコツを詳しく解説!~部分積分法はこれで完璧~

上に書いてある公式は、底がネイピア数の場合の公式になっています。

底がネイピア数以外の正の実数のときにはどうすれば…

?!!!

ここで底の変換公式です!
底の変換公式を用いて、底をネイピア数に変えてやりましょう!

【例題】底が3の対数関数を積分するとき

と、式変形することで公式を使うだけで積分できるようになります!

この記事を書いた人
慶應義塾大学 理工学部に通っています。1人旅が趣味で、得意科目は数学と英語です!

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