【ユークリッドの互除法】やり方&証明を解説!センター試験にも役立つ!

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センター試験を解いてみよう

さて、それでは実際の入試問題でユークリッドの互除法がどのように使われるかを見てみましょう。

平成28年度センター試験数学1A第4問

独立行政法人大学入試センターHPより引用

92x+197y=1
は正に先ほど見たax+by=1の形ですね。
ユークリッドの互除法を用いて解いてみましょう。

これにより(x,y)=(15,-7)が題意を満たすことがわかりました。
しかし、この問題では「xの絶対値が最小のもの」という条件がついています。この解が本当に絶対値が最小かどうかを確かめるためには、一般解を求めなければいけません。
一般解を求めるためには、求めた一つの解を式から引いてみましょう

92×15+197×(-7)=1より92×150+197×(-70)=10ですね。
これを92x+197y=10から引くと、同様に解くことが出来ます。

最後に

今回はユークリッドの互除法の計算方法、証明、整数問題への応用と見てきました。
特にユークリッドの互除法を使った整数問題は、センター試験でもかなり高い頻度で出題される超重要科目です。
解を見つけるためのポイントは、「互いに割り続けることであまり1を作ること。」
ぜひユークリッドの互除法の使い方をマスターして、入試に役立ててください!

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