【数学1A】慶應生が分野別に解説!おすすめ問題集・参考書も紹介

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はじめに

数学1Aは高校数学の基礎となる範囲で、大学入試でも基本の穴埋め問題をはじめ記述問題で難問も出題される程重要です。
1年生・2年生の時期は部活が忙しかったり、友達と遊んだりしていてつい勉強がおろそかになりがちです。授業中寝てしまったり、宿題を適当にやってしまったり…あなたもそんな経験がありませんか?
高校3年生になり受験勉強始めると、「数1Aってこんなに難しかったかな?」と感じることが多くなります。私もそのような経験があります。例えば始めのうちは1個のサイコロを1回振るだけという状況だったのに、3個のサイコロを繰り返し何回も振るような問題に出会うようになりイメージできず解けないというような経験。勉強すればするほど数学1Aが難しく感じてきました。
これまで例題や練習問題を勉強してきたにも関わらず、難しくなってきた模試では点数が上がらないという状況に陥った私は、このままの勉強法でいいのかと疑問に思うようになり、数学1Aの勉強法を模索し始めました。そこでたどり着いたのは、「難しい問題は基本的な問題の組み合わせである」という意識を持って勉強するという方法でした。
これから数学1Aの単元別に、「難しい問題は基本的な問題の組み合わせである」という意識に具体的に触れながら理解が深まる勉強法を紹介しこうと思います。

数学1Aの範囲

数1Aは穴埋め問題・記述問題の両方で出題される範囲であり、基本かつ重要な単元ばかりです。それぞれの特色を見ていきましょう。

数と式(実数、展開と因数分解、不等式)

大きく分けて実数、展開と因数分解、不等式の3つからなる「数と式」の単元は、単体で出題されることは非常に少なく、数学の全ての範囲においての「計算」そのものです。あらゆる単元で最終的には方程式や不等式を解くことで答えが得られる場合が多く、その途中で展開や因数分解が利用されます。

二次関数(二次関数とグラフ)

「二次関数」は単体で出題されたり、他の単元の解答過程で利用されることもある重要な単元となっていて、多くは最大値・最小値を求める問題です。計算量が非常に多く、速く正確に解くことが求められます。

図形と計量(三角比)

「図形と計量」の単元では、受験数学の図形問題で大きな効果を発揮するものの1つ、三角比を学びます。入試では非常に平面図形から立体図形まで幅広く利用できる考え方を学ぶので、しっかりと理解しましょう。

データの分析、集合・論理

「データの分析」は学習指導要領が変更してから新しく追加された単元ですが、高校数学の中ではかなり簡単なものになります。数学的な用語や記号は難しいですが、内容としてはすぐに理解できるものとなっているので、数学用語や記号と考え方を確実に結びつけましょう。
「集合」の単元は、図を書くと理解しやすくなります。定理も少なく考えやすい単元となってます。「論理」も矢印を使った図が重要となりますが複雑なものが多く場合によっては問題を切り捨ててしまって構いません。集合・論理は出題される頻度は多くなく、記号での回答になります。

場合の数と確率

数学1Aで最も出題頻度が高く、難易度も様々な単元が「場合の数と確率」です。苦手な受験生も多いと思います。小問集合のうちの1つとして出題されたり、大問として出題されたり形式もかなりのパターンがあり、暗記のみでは太刀打ちできません。公式や場合分けをきっちり理解し、できる問題を増やしていきましょう。

整数の性質

「整数の性質」単元は、記述(証明)で出題されると難易度が高い場合が多い。図形や確率と異なりイメージできにくいという理由もあるが、整数自体が厳密なルールの上に成り立っているものなので、解答も厳密な記述を求められる。得意でなければ解く順番を最後に回してもいい単元です。

図形の性質(三角形、円)

受験において図形問題は多く出題されますが、記述問題で図形の性質のみを用いて(これを「幾何学的に」と呼ぶ)解けるものは少ないです。センター試験では「幾何学的な」解法を誘導される問題があり、記述問題では答えに繋がる鍵の1つとして登場することが多きなっています。忘れないように頭に入れておきましょう。

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数と式(実数、展開と因数分解、不等式)

「数と式」は大きく分けて実数、展開・因数分解、不等式の3つになります。特に展開・因数分解は方程式を解く上で欠かせません。

受験数学の計算の基本!

「数と式」は計算がメインとなり、この後に出てくる他の数学1Aの単元・数2B・数3の基礎となる大事な単元です。全ての単元は、単元ごとの考え方と計算の「組み合わせ」であるという意識を持ちましょう。

ひたすら計算をしよう!

計算は等式変形をどんどん繋いでいく作業です。速く正確に変形できるようになるには計算訓練を多く積む必要があります。
「10問5分でミスなく」など自分でルールを決めて毎日取り組むことで計算力は付いていいきます。めんどくさいことを毎日コツコツ積み上げていくことが数学でも大切です。

二次関数(二次関数とグラフ)

数学1Aの中で最も重要な単元の1つが「二次関数」です。「二次関数」単体としてだけでなく他の問題の解答過程にも考え方を利用しますので、絶対にモノにしましょう。

最も重要なのはグラフ!

「二次関数」で最も大切なのは、状況を確実に掴むために正確なグラフを描くことです。そのためには「平方完成」ができなければなりません。
「平方完成」とは、y=ax^2+bx+cで表された二次関数の式をy=(x+d)^2+eの形に等式変形させるものです。
「平方完成」しなければならない理由を説明します。y=x^2は「二次関数」の単元の一番最初に習い、グラフを描けるようになっていると思います。y=(x+d)^2+eのグラフは、「y=x^2のグラフをx軸が正の方向に”-”dだけ、y軸が正の方向にeだけ平行移動させたもの」になるのです。つまり、y=ax^2+bx+cの形では描けなかったグラフがy=(x+d)^2+eの形だと描けるようになるのです。「平方完成」を行う理由は、グラフを書くためです。
グラフが描ければ問題文から得られる情報を全て書き込み、「可視化」することで解き方がわかってきます。
「可視化」のついては、「二次関数」だけでなく様々な単元で効果を発揮するので問題文から得られる情報は全てメモとして書き出しましょう。

最大・最小問題

「二次関数」を直接的に出題する場合も、他の単元で「二次関数」の考え方を利用する(他の単元と二次関数の組み合わせ)場合でも、求めるものはxの範囲(定義域)が与えられた場合の関数の最大値・最小値になります。また逆の場合もあり関数の最大値・最小値が与えられた場合の定義域を求めることもあります。
なぜ関数の最大値・最小値を求める問題が多いかというと、xの定義域によって最大値・最小値の値が変わってくるため場合分けが生じるからです。場合分けできる力があるかを試されているのです。
この場合分けを確実にするために必要なのがグラフです。グラフのx軸に定義域を書き込み、その定義域に含まれる関数のグラフを濃く塗ったりギザギザで印をつけてわかりやすくします。印をつけたグラフの中で最も高い部分が最大値、最も低い位置が最小値となり、目で見てすぐに分かるようになります。
場合分けが必要な問題では定義域に文字が含まれている時になります。例えばa≦x≦a+4の場合であれば、xの幅が4の定義域を考えていきます。どこで最大値・最小値が変わるかをグラフで考えて場合分けしていくと分かりやすくなります。

二次方程式・二次不等式との繋がり

「二次関数」は「二次方程式・二次不等式」と大きく関わりがあります。
例えば二次方程式ax^2+bx+c=5であれば、y=ax^2+bx+cの曲線とy=5の直線の交点が二次方程式の解になります。二次方程式の解の個数をグラフで判断しながら場合分けをしていく問題などが出題されます。
グラフと式の関係を実際にグラフを描いてみて理解しましょう。

この記事を書いた人
慶應義塾大学 理工学部に通っています。1人旅が趣味で、得意科目は数学と英語です!

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