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【相似】三角形の相似条件。記号や証明問題も

この記事は最終更新日から1年以上が経過しています。内容が古くなっているのでご注意ください。

はじめに

本記事では、「相似とは?」「合同と何が違うの?」「相似の記号って?」という基本的な質問から、三角形の相似条件や相似比の使い方などの実戦的な内容まで解説しています。
高校受験を控えた中学三年生にとって、「相似」は非常に難しい単元です。その分受験生との差が開きやすく、志望高校合格を左右することもあります。また、大学入試問題でも相似を使うことがあります。
とても重要な単元である「相似」。何としてでも理解できるようになりましょう!
本記事では「相似とは何か」「相似の性質」「三角形の相似条件」などを説明した後に、練習問題もつけています。説明を理解した後で、実際に問題を解いてみることが数学の点数UPのコツです。ぜひ解いてみてくださいね。

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相似とは!?

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まずは相似と合同の違いを明確にしましょう!

相似とは!?

相似とは、一言で言うと

「形は同じだけど、大きさが違う」という関係のことです。

つまり、拡大と縮小の関係です。

Qvg9wjvqwlmwkd1b8yrpz4jmne3ang5b33qovzp0r5xk7ldg2go96qebxjml6wzj?w=430

Apdwe5vxaeg6q173j0l5d8wkdqmnn7ozmmqnrlgvbexmwzyj4roppb9kz2q2llx3?w=430

合同とは!?

合同とは、一言で言うと

「形も大きさも同じ」という関係のことです。

30rgj80m8g1gnqy2arwmb6vxvzejnxpw506n7djk4p9qlebzl5r3oxdkwpwlmdl9?w=430

Kmzev24gpja3b0bddlkworvyejnmnxq6wxpyme62pkgzq7l159xzrxwqv895qdgy?w=430

相似と合同の違い

上の内容を理解したあなたであれば、もう既に相似と合同の違いを理解できているのではないでしょうか。
念のためもう一度文章で整理しておきましょう!

【相似】

「形は同じだけど、大きさが異なる」という関係。


【合同】

「形も大きさも同じ」という関係。


例では分かりやすい三角形を使いましたが、四角形でも五角形のような多角形でも合同や相似という関係は存在します。

相似の性質

Lrkby3xy7okgzl69k4r15neajgpjy1z5vp9o0q2em8mqxd3dlbvrvbwpwzmd458a?w=430

ではいよいよ、相似について詳しく見ていきましょう!
上の相似についての説明で、

「形が同じ」「大きさが違う」

という言葉が出てきました。


相似の説明に使われた、「形が同じ」「大きさが違う」という言葉を、数学っぽく表現してみましょう!

相似の性質

相似の性質は、まさに「形は同じ」「大きさが違う」の2つになります。
それぞれ、

「対応する角の大きさはすべて等しい」⬅「形は同じ」
「対応する部分の長さの比はすべて等しい」⬅「大きさが違う」

と表現できます。いかにも数学っぽいですね。
問題文や解答でも、この数学っぽい表現を用いましょう。


「対応する」とは、組になる部分という意味で、
下の図であれば頂点AとD、BとE、CとFや角AとD,BとE、CとF,辺ABとDE、BCとEF,CAとFDです。


そして、相似であるときの対応する部分の長さの比を相似比と言います。


先程上に載せた図形で相似の性質を見てみましょう!

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ここでは△ABCと△DEFが相似です。

この時、

△ABC∽△DEFー(ⅰ)

と書きます。

相似の記号「∽」は英語で相似の意味を表す英単語「similar」の頭文字を横にしたものです。

また、(ⅰ)のように書くとき、対応している頂点の順番に三角形の名前を書きます。
点Aに対応しているのは点D、点Bに対応しているのは点E、点Cに対応しているのは点Fなので
左側を△ABCと書くと右側は△DEFです。
△BCAと書くと△EFDとなります。

書く順番は記述試験では非常に重要なので、慣れておいてください。

相似比について

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対応する部分の辺と角について

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9mm8z0kr435w0rmlq1nalg7qxod2y2kjwggo9zgxebpvzjkw6pbvyd8jem31wxld?w=430

ここでも三角形を例に話を進めてきましたが、四角形や五角形のような多角形でも同じことがいえます。

面積比

さて、相似比がわかれば、なんと面積比まで分かってしまうのです。

相似って、めちゃくちゃ便利ですね!

掃除はしたくなくても、相似は利用しましょう!

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四角形や五角形のような多角形が三角形の寄せ集めであることを考えると、相似比が1:2のときに面積比が1:4になることは多角形にでも利用できます。

さらに、相似比が1:3であれば、三角形の底辺も高さも3倍になるので面積比は1:9になります。

このことから、多角形について

5zwywr0xqbeglkvzey5poaz87jjlo0rn6w1nd3xw1pgrbmk2mqv9wn6dr4gom7dk?w=430

ということが分かります。

相似比から面積比を求める考え方はよく使うので、しっかり理解しておきましょう。

三角形の相似

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ここからは、問題として最も多く使われる三角形の相似について詳しく見ていきましょう。

三角形の相似条件

相似の問題の中でも、三角形の相似を証明する問題が多く出題されます。

ここでは、三角形の相似を証明するために必要な3つの条件を説明します。

私が実際に問題を解いた時に使う回数が多いと感じた順に書いてみました。

L470m9prldqnbe4lpxzxkmawkgj8amykzqnady5qr319obezv6v7jwm02gqvjlpk?w=430

1つめは、

「2組の辺の比とその間の角が等しい」

という条件です。

個人的には一番使う回数が多いと感じました。

多分自分にとって一番使いやすい条件だったんだと思います。
3つもあるので、あなたが最も使いやすいと感じた条件から覚えていく方法が良いのではないでしょうか。

0165gbexk9a28lmvq46dmwgn50kzo8q0gjwaxglbbjzpreqv3wy7prd1ojojevb4?w=430

2つ目は、

「2組の角がそれぞれ等しい」

という条件です。

2組の角が等しければ、残りの一つの角も等しくなります。
角度が全て同じということは、形が同じであるので、相似ですね!

L470m9prldqnbe4lpxzxkmawkgj8amykzpzady5qr319obezv6v7jwm02gqvjlpk?w=430

最後は、

「3組の辺の比がそれぞれ等しい」

という条件です。

これは見てすぐ分かる簡単な条件ですので、使いやすいと感じる方もいるのではないでしょうか。
問題としては、すぐに分かる問題を作っても意味が無いので、少々出題頻度は落ちるかもしれません。

【まとめ】

三角形の相似条件は、

・2組の辺の比とその間の角が等しい
・2組の角がそれぞれ等しい
・3組の辺の比がそれぞれ等しい

の3つです。

これらは記述式の証明問題で出題されると解答欄の中に確実に書かなくてはいけない文章なので、図形的なイメージができた後に一言一句間違えないように覚えましょう。証明問題は言葉での説明も必要になるので、三角形の相似条件も最終的には言葉で覚えましょう!

直角三角形の相似条件

直角三角形は特殊な三角形なので、相似条件も特殊になっています。

詳しく見ていきましょう!

Wgypb7dnvo1bgqy0plklprjg29wqajdgmrwyz4edwk5b78va3jm6rexzmx0vv9dx?w=430

直角三角形の相似条件は2つだけです!

まずは1つめ。

「直角以外の角が等しい」

これは先程の三角形の相似条件②の応用です。
一つの角が直角ということがあらかじめ分かっているため、直角以外の角が等しければ、
「2組の角がそれぞれ等しい」という条件を満たしていることになります。

Dvxngojz45zvbg2kwaxeq3vnrmdyoe0lwvrypd8qwpb16o9klrem0x7glj0ga21m?w=430

次に2つめ、

「対応する2辺の比がそれぞれ等しい」

という条件。

直角三角形なので三平方の定理を使って残りの辺の長さを求めることができますね。
すると、残りの辺の比も等しいことが分かるので、三角形の相似条件③を適応できます。

特殊な三角形なので、相似条件も普通の三角形に比べて緩くなっていますね?

相似の証明問題

三角形の相似条件と直角三角形の相似条件をモノにできたあなたは、もう相似の証明問題に挑むことができます!

実際に相似を証明してみましょう!

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Apdwe5vxaeg6q173j0l5d8wkdqmnn7ojdv4nrlgvbexmwzyj4roppb9kz2q2llx3?w=430

この問題は平成28年度の都立高校入試問題の一部です。

入試問題に出題されるほど、相似は重要な単元なんです!

まずは問題に挑むときの考え方から見てみましょう!

平成28年度都立高等学校入学者選抜 学力検査問題及び正答表等

【問題解けるまでの考え方】

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相似の証明問題であれば、なんと、問題文に相似である三角形が書かれているのです。
「証明しなさい」と書かれているのだから、間違いなく相似なんです。
この問題であれば、△AQRと△CQPは間違いなく相似です。ただ証拠(証明)が無いだけなんです。

つまり相似の証明問題は、問題文を読んだ時点で何を書けばいいのかすぐに分かるラッキー問題なんです!

相似を証明するときには、上で説明した相似条件のどれかを満たしていることを書けばオッケーです。

具体的に言えば、
△AQRと△CQPの
・2組の辺の比とその間の角が等しい
・2組の角がそれぞれ等しい
・3辺の比がそれぞれ等しい
のどれかを解答欄に書けば満点もらえます。

そして、これらの条件は必ず問題文や図から導くことができます。

今回は、長さに関する情報が与えられていないので
「2組の角がそれぞれ等しい」
という条件を使いそうだな〜という考え方をします。

2組の角度の選び方は自由です。今回は∠DQC=∠BQP、∠BPQ=∠DRQの2組にしてみましょう。
角度の見当をつけられたら、後は問題文で与えられた条件を用いて角度が等しいことを導いてみましょう。

1ebymb39qbzxl1rzqmge86x20jn5o3d7pezamlkvpwkdaywgrjde4vobp73amx9r?w=430

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対頂角と錯角の性質を用いて等しい角度を見つけることができました。

証明の道筋は見えたので、次はどのように答案に書けばいいかを見ていきましょう。

【答案】

対頂角は等しいので、
∠DQC=∠BQPー①

DSとPBha平行なので、錯角は等しい。
よって ∠BPQ=∠DRQー②

①、②より、2組の角がそれぞれ等しいので、
△AQR∽△CQP(証明終わり)

思った以上にシンプルだったのではないでしょうか??

考え方の説明がめちゃくちゃ長かったのに、答案はたった6行ですね。
ですが、採点官はあなたの頭の中は見てくれません。
確実に得点するためにも、書き方にまでこだわりましょう!

相似の証明問題では、相似条件を確実に文章で書く必要があります。
気をつけましょう!!

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相似の見つけ方

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ここでは、相似を見抜くコツを紹介します!

相似を見抜くコツは、あらかじめ問題として扱われやすい相似の形を知っておくことです。

今から確実に知っておいてほしい、3つの頻出相似形を紹介します!

ちょうちょ型

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形がちょうちょっぽいですよね??
ちょうちょです。はい。

ちょうちょ型で大事なことは、

AB//ED

であることです。
ABとEDが平行でなければ相似にならないことをしっかりと頭に入れておいてください。

また、ここで相似なのは
△ABCと△DECです。
対応する点はAとD、BとE、CとCです。上下をひっくり返しただけでは対応する点とすることができません。
形に気をつけてください。

マトリョーシカ型

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お次はマトリョーシカ型です。

大きな三角形の中に小さな三角形が入ってるので、マトリョーシカっぽいですよね。
マトリョーシカです。はい。

この相似形で気を付けることも、

AB//ED

であることです。

ABとEDが平行でなければ相似になりません。

さらに、この形でも相似なのは
△ABCと△DECですが、マトリョーシカ型では形はそのままです。ちょうちょ型と区別しましょう!

平行線に隠れてるヨ型

そして最後に平行線に隠れてるヨ型です。無理矢理感半端ないですね。
平行線に隠れてるヨ、隠れてるんです。はい。

P9emmoxz9wr5q0zy8jalk42dg6wgym1jbobynx7veo3vdpj1qlmmbpkreb7vrzqd?w=430

「いやどこにあるん」って感じですよね。
これは知らないとできません。
種明かししてみましょう。

Kdxj5vn8rvw2qlpw0a79m1qzpvolnqakgwenxmk5ze3b4gdjjxky6regdbwav1l7?w=430

補助線ですね。これは知らないとできません。
点Eを通り直線FBに平行な補助線を引きます。
ここで知れたので、もうできますね、平行線に隠れてるヨ型。

補助線を引いて、隠れているマトリョーシカを出現させましょう!

△AEHと△CEGのところにマトリョーシカが出てきましたね。

気をつける点は上に書いたマトリョーシカ型と同じです!

【まとめ】

相似を見つけるコツは

・ちょうちょ型
・マトリョーシカ型
・平行線に隠れてるヨ型

を見つけようとする姿勢!!

空間図形の相似

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空間図形でも相似を用いることがありますが、その多くは空間内にある平面を切り出すか、体積比についてです。

ですがビビる必要はありません。

平面を切り出す場合は切り出した後の平面上で相似を考えればよく、体積比は上述した面積比と考え方は同じです。

ここでは直方体の体積を考えることで、体積比について見ていきましょう。
相似比を1:2とします。

すると、直方体の体積に関して

A2nj8vwdxrzk7qj5jb3rmg1ep94yy4kg2vjnv2evn6okdb0lwlapmxg8zqmpdgkg?w=430

のように、縦・横・高さがそれぞれ2倍になるので、
2を3回かけることになります。つまり8倍です!!

これを文字で表すと、

Xlx4qzwrmeqd2wzb79byxgvp4px5yw0dg3ko01r3nkemdkzjlago8vlj6qb5dor9?w=430

となります!

しっかりと頭に入れておきましょう!

相似を用いた練習問題を解説!

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最後に、相似についての簡単な練習問題を解いてみましょう!

【問題1】△ABCと△DEFが相似であるとき、EFの長さを求めなさい。

Mpvbx1ajjnrxew3lqppdlbzv5mq2abkxbwrnd7vk0yg19zbxkgw4ro86emnz4yjq?w=430

相似の問題で三角形の辺や面積を求める際には、相似比が必要になります。
まずは相似比を求めましょう!

Gvqyplzv6al5gyk2nboxvd1qjpebyr3kx7do87qr04lkxm3ergj9zwwdpmavx5er?w=430

相似比を求めることができたら、後は比の式に代入することで求められます!

9eonlbw6ek2lx5d0jbgxw7azroj1nqd4n52aqnmyvg4klbpdq89vz3merpj5g31v?w=430

となるので、答えは6cmです。

【問題2】△ABC∽△DECのとき、△DECの面積を求めなさい。

Xpdjjzmwzmqo19dlvrbl4kjnwgegnp7xl8za76b2xdprpayv805e3kxqjzolwg2l?w=430

相似の単元で面積を求める問題なので、まずは相似比、続いて面積比を求めることで答えを導きましょう!

Kmzev24gpja3b0bddlkworvyejnmnxqvzbvyme62pkgzq7l159xzrxwqv895qdgy?w=430

Wgypb7dnvo1bgqy0plklprjg29wqajdg6klyz4edwk5b78va3jm6rexzmx0vv9dx?w=430

となるので答えは44cm^2です。

なんとなく相似比の使い方が分かってきた頃でしょうか??

実際の問題では相似を探すところから始めなくてはいけない場合もあります。
そのときにはぜひ、先程紹介した相似を見つけるコツを使ってください。

【問題3】△DRQと△BPQの面積比を求めよ。

最後に、先程の都立高校入試の続きの問題です。
この問題は少し難し目ですが、②に挑戦してみましょう!

△DRQと△BPQが相似であることは先程示しました。

その相似を用いて面積比を求めてみましょう。

面積比を求めるのに必要なのは相似比なので、まずは相似比を求めます。

B6qz8enj7ew8vjz1ok3zmmwd9gqqndkl110avpx5ldxkyrl4r20gbpba6epl5gpr?w=430

【解説】

平行四辺形なので、
AD=BC
またDS//PBより、DP=BS
よってAP=CS

よってCS:SB=1:2

Gzpjdpzkep6oar3qnd2glbexbqymyp9kgwyo5r9kmjj8dv4xwgw01v7lpz2klrv6?w=430

ここで、マトリョーシカ型の相似が見つかります。
△CRSと△CPBです。

△CRS∽△CPBより、
SR:BP=CS:CB=1:3(ここ注意!)

SD=BPなので
SR:SD=SR:BP=1:3

よって
SR:RD=1:2

30rgj80m8g1gnqy2arwmb6vxvzejnxpejrmn7djk4p9qlebzl5r3oxdkwpwlmdl9?w=430

やっとDRとBPの比を求めることができました。
△DRQと△BPQはちょうちょ型の相似なので対応する辺には気をつけましょう。

相似比は2:3なので、面積比は4:9です。

Apdwe5vxaeg6q173j0l5d8wkdqmnn7ojrqrnrlgvbexmwzyj4roppb9kz2q2llx3?w=430

このように平行四辺形にはちょうちょ型の相似もマトリョーシカ型の相似も出てくるので、
平行四辺形を使えば複雑な相似の問題を作ることができます。

最後に

Mpvbx1ajjnrxew3lqppdlbzv5mq2abkeko5nd7vk0yg19zbxkgw4ro86emnz4yjq?w=430

今回の記事では、

・相似とは何か(合同との違い)
・相似の性質
・三角形の相似
・三角形の相似の証明
・空間図形の相似
・相似の練習問題

を見てきました。

本記事の目的は相似のイメージを掴むことです。
この記事を読んで相似の基礎を理解した後、最後に相似を完璧にするのはあなた自身です。
あなたが自分で練習問題を解いて、確実に相似を理解できる日が来ることを願っています!

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この記事を書いた人
Oyzvgzwkdz8megekq25xwmdo3nl4y5yvvdayx6vlyqjzp1rabr7bv9pgj09krjjq?w=72
慶應義塾大学 理工学部に通っています。1人旅が趣味で、得意科目は数学と英語です!

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