合同式の証明や問題の解き方を解説!大学受験で使いこなそう!

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まだまだある、合同式の性質

さて、ここまで四則演算について説明してきましたが、実はまだまだ計算で使える性質があります。
最初は覚えるのが大変かもしれませんが、慣れると本当に計算が楽になります。最初がふんばりどきです!

n乗に代入できる

入試問題でよく使うのがこの性質です。

証明は少々トリッキーですが、

となります。

この性質を使った問題はあとで扱いますが、本当によく出る問題なのでこの性質はしっかり覚えておきましょう!

方程式にも代入できる

足し算・引き算・かけ算・n乗の計算ができるようになると、以下のような方程式も解けるようになります。

【問題1】
x≡2(mod3)のとき、
x²+3x-1
を3で割った余りを求めよ。

【解説1】
以下mod3とする。
x≡2より、求める値は
2²+3×2-1
=9
≡0
よって、余りは0


【問題2】
x≡99 (mod100)のとき、
3x⁴-4x²+37
を100で割った余りを求めよ。

【解説2】
以下mod100とする。
x≡99≡-1より、求める値は
3(-1)⁴-4(-1)²+37
=3-4+37
=36
よって、余りは36

※このように、代入する値が大きくて計算が面倒になりそうなときは、代入する値を小さくする方法を探すのも大事です!

実際の問題を解いてみよう

では、実際に大学入試でよく出題される問題を解いてみましょう。

100乗の余りを求める?

【問題1】
6の100乗を5で割った余りを求めなさい。


【解説1】
6を100乗するなんてできるわけないじゃん…と思う前に、この公式を思い出してください。

6を5で割った余りは1です。つまり、

よって、求める余りは1です。



【問題2】
8の100乗を3で割った余りを求めなさい。


【解説2】

よって、求める余りは1。

このように、一見簡単な数にできないと思っても、2乗ずつに束ねてみたりすると見つかることもあります。

一の位の数を求めるには

【問題】
7の99乗の1の位を求めなさい。


【解説】
「1の位を求める」ということはつまり、「10で割ったときの余りを求める」ということですね。

よって、

求める余りは3

最後に

ここまで、合同式の四則演算や大学入試でよく出る性質・問題を説明してきました。
合同式は知っているだけで、ぐっと計算が楽になり、得点に結びつく単元です。
必ずマスターして、入試に臨むようにしましょう!

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自然数とは?0や整数との違いは?例題を元に慶應生が解説!

この記事を書いた人
現役で東京大学 文科I類に合格しました。夏からアメリカに1年留学するのですが、マジで太りたくないので野菜しか食べないつもりです。 得意科目は英語と数学で、国公立対策の記事を中心に執筆しています。

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