剰余の定理を徹底解説!証明と問題つきで理解度アップ

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はじめに

この記事で剰余の定理の解説、証明から実戦的な問題まで詳しく網羅して、剰余の定理についての理解を一度にまとめて深められるようになっています。

剰余の定理ってどういう定理だったか、説明できますか?
因数定理との違いってなんでしたっけ?
整式の問題においては重要な定理にも関わらず、存在感が薄くて地味な故に忘れてしまいがちなのが、剰余の定理です。
あなたも剰余の定理の問題をいきなり解け!と言われたら困るのではないでしょうか?

この記事を読んで剰余の定理をもう一度学んでみましょう!

剰余の定理とは

さて剰余の定理とは一体なんでしょう?

言葉にすると、「整式f(x)を(x-a)で割った時の余りはf(a)であり、(ax+b)で割った時の余りはf(-b/a)である」というものです。
整式の割り算は非常に面倒くさいので、余りだけを知りたいときはこの定理を使うとだいぶ楽になります。

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剰余の定理の例題

言葉だけの説明では分かりにくいと思うので、実際に問題を解きながら使い方を理解していきましょう。

与えられた式をf(x)とおくと、
剰余の定理より、f(3)と余りの数字が同じです。
よってf(3)=5が成立します。
すると

9+3a-1=5

という式を解けばよく、

a=-1

という答えが出ます。

剰余の定理と因数定理の違い

剰余の定理と因数定理、この2つはよく混同されることが多いです。
それもそのはず、因数定理というのは剰余の定理において余りが「0」である場合とまったく同じことをいっているからです。
ただその示すニュアンスというのはちょっと異なり、
剰余の定理は「整式を割った時の余りは何であるか」を教えてくれる定理です。
因数定理は「整式が割り切れるための必要十分条件」です。

よって、剰余の定理の場合
整式f(x)を(x-a)で割った時の余り→f(a)
の流れは使いますが、
整式f(x)の余りがf(a)→それは整式を(x-a)で割った時の余り
の流れは使いません。

因数定理の場合
整式f(x)が(x-a)で割り切れる→f(a)=0
の流れも、
f(a)=0→整式f(x)は(x-a)で割り切れる
の流れも使います。

細かいニュアンスですが、頭の片隅に入れておくといいかもしれないです。

因数定理の詳細記事はこちら!

剰余の定理の証明

さて、どうしてこのような定理が成り立つのか、証明をしてみましょう。
剰余の定理の証明はとても簡単です。

まず、整式f(x)を(x-a)で割った時の商をQ(x)、余りをRとします。
すると、

f(x)=(x-a)・Q(x)+R

と表せます。
ここで、f(x)にx=aを代入すると、

f(a)=0・Q(x)+R
=R

となります。
よってR=f(a)が成立し、剰余の定理が証明できました!

この記事を書いた人
現役で早稲田大学 政治経済学部に合格しました。センター利用だったので主に国公立対策の記事を書いています。 得意科目は英語と国語で、歌うことが大好きです。精密採点DX-Gでの最高得点94.497。95点越えが目標です。

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