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円錐の表面積・体積計算の簡単な求め方を解説!公式を証明しよう!

この記事は最終更新日から1年以上が経過しています。内容が古くなっているのでご注意ください。

はじめに

中学数学で習う、円錐の表面積・体積の求め方。

「円柱とはどう違うんだっけ?」
「表面積って何か公式あったよね?」

なんて忘れかけていませんか?
高校数学、大学受験でも頻出の「円錐」。
今一度円錐の求め方、公式の覚え方を再確認しましょう。

理解することが一番の近道です。
この記事では、図形を使って易しく解説していきます。

円錐の表面積の求め方

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はじめに、円錐の表面積の求め方を説明します。
円錐の表面は、大きく分けると「側面」と「底面」に分けることができます。
2つを別々に計算することが表面積の計算でのポイントです。

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まず、円錐を立体的に見てみましょう。
とんがりコーンや道端にある工事のコーンでおなじみの形ですね。

しかし、表面積を求めるときは立体的に考えてはいけません。
底面と側面に分けるために、展開図を見ながら考えてみましょう。

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これが展開図です。
円錐の展開図では扇形の2つの図形を見つけることができます。
側面が扇形になっているのは意外かもしれませんね。

円錐の表面積を求めるということはつまり、扇形(側面)と円(底面)の面積の合計を求めればいいわけです。
まずは底面の面積から求めてみましょう。

◎円錐の底面の面積を求めよう

先ほど言ったとおり、底面はです。
円の面積の求め方を使えば一瞬で求められますね。

円の面積の公式
(半径)²π

よって半径をrとすると、底面の面積はr²πです。

◎円錐の側面の面積を「広げて」求めよう

次に側面の面積を求めましょう。
側面、つまり扇形の面積を求めなければいけません。
扇形の面積は、半径中心角の大きさがわかれば求めることができます。

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円錐の展開図における扇形の半径は、母線と呼ばれます。
立体で見るとどこの長さのことでしょうか。

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立体では斜めの斜面の長さのことでした。
それでは、扇形の面積の求め方をおさらいしましょう。

扇形の面積の公式
(母線)²×π×(中心角/360)

しかし中心角が書かれていないことが多いですね。
ではどうすればいいのでしょう?

ここで重要なのが、側面の円周と、底面の円周は一致するということです。
まず立体で考えてみましょう。

L470m9prldqnbe4lpxzxkmawkgj8amyebayady5qr319obezv6v7jwm02gqvjlpk?w=430

この赤い線は底面の円周ですね。
しかし、実は側面(=扇形)の弧でもあるのです。

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それではこの重要ポイントを元に計算してみましょう。

底面の半径をr、母線をm、中心角をαとすると、
2rπ = 2mπ×α/360
α/360 = r/m

つまり、側面の面積は
m²π×α/360
= m²π×r/h
= rmπ
と表せます。

扇形の中心角がわからなくても側面の面積を計算できました!
母線底面の半径がわかれば、求められるのです!

◎円錐の表面積の公式

母線h、底面の半径rの円錐の表面積は底面積側面積の和です。
r²π(底面積)+rmπ(側面積)
=rπ(r+m)
と表せます。

円錐の表面積の公式
(底面の半径)π(底面の半径+母線)

これが円錐の表面積を求める公式ですが、正直忘れやすいです。
忘れてしまった時は、円錐の表面積は底面積と側面積を足したものであり、底面の円周と側面の円周は長さが同じ ということをきちんと覚えておきましょう!

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円錐の体積の求め方

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では次に、円錐の体積の求め方を説明します。
今回は先に公式を紹介します。

円錐の体積の公式
1/3(半径)²(高さ

◎円錐の体積の公式

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立方体や円柱など、多くの立体の体積は底面積×高さで求められます。
この式でもr²πは底面積、hは高さを示しています。

しかし、なぜ⅓ がつくのか気になった方もいるでしょう。実は、これの説明には積分を理解していることが必要になってきます。
積分をもう習った人は次章を読んでみてください。以下の記事でも解説しています。

【微分積分】公式の意味や問題の解き方を基礎の基礎から解説!

◎微分積分を使って公式理解!

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円錐を細かく輪切りにすると、大きさの違う円を積み重ねた円柱としてみなすことができます。
よって、頂点からの距離がtから⊿tの間にある部分の体積は、底面をS(t)とすると、
S(t)⊿t
と表すことができます。

また、底面の半径はrt/hと表せるので、
S(t) = r²t²π/h²
ですね。

これをtで積分すると、

Rzdqr5pkmqjd5oll4p820bzrba7gybxpyjva9xwnrjmd3qvgeexvy1k6wzyj0kl1?w=430

よって、底面の半径がr、高さがhの円錐の体積は、⅓ r²hπと表せます。

◎円錐の高さの求め方

さて、円錐を求める際に必要な高さですが、これも半径と母線の長さがわかれば求めることができます。

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高さは頂点から底面の中心に下ろした線分の長さです。
つまり、底面と垂直に交わります。

よって、高さを表す線分、底面の半径、母線がつくる三角形は直角三角形としてみなすことができるので、三平方の定理より
m²=h²+r²
∴h = √(m²-r²)
が成り立ちます。

以上より、円錐の高さは母線半径の長さがわかれば求められるのです!

参考:三平方の定理が一瞬で理解できる!公式・証明から計算問題まで解説

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円錐台の表面積・体積の求め方

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では最後に、応用編として円錐台について説明します。
円錐台とは、円錐を底面に平行な形で切り、頂点を含む小さな円錐を覗いた立体のこと。
もとの円錐を意識することが、円錐台の問題を解く上でカギになってきます。

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◎平面と見なして比を考えよう

円錐台の表面積・体積を求めるための公式というものは基本的にありません。もとの円錐と、頂点を含む小さな円錐との関係で解いていく必要があります。

そこで大事になるのが「元の円錐と小さい円錐の比を取ること」です。比がわかれば必要になる数値がとれます。

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◎円錐台の体積の求め方

では、体積を求めていきましょう。


【問題】
下の円錐台の体積を求めよ

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【解説】
基本的には、「元の円錐の体積から小さい円錐の体積を引く」方法で求めます。

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体積を求めるには、底面の半径と高さが必要なのでした。ここで三角形の比を使ってみると…

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△ADE∽△ABCより、
DE:BC = AE:AC
∴2:5 = AE : (AE+6)
∴AE = 4

三平方の定理より、
AD = √(4²-2²) = √12 = 2√3
AB = √(10²-5²) = √75 = 5√3

よって、求める円錐台の体積は、
5²π×5√3-2²π×2√3=117√3π

◎表面積は底面を忘れずに

では、今度は表面積を求めてみましょう。


【問題】
下の円錐台の表面積を求めよ

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【解説】
表面積も、「元の円錐から小さい円錐を引く」という点では同じです。

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底面の半径がr、母線がmの円錐の表面積はrπ(r+m)なので、

元の円錐の表面積 = 5π(5+10) = 75π
小さい円錐の表面積 = 2π(4+2) = 12π

です。
しかし、単に75π-12πを答えにするのは間違いです。なぜなら、その計算だと円錐の一番上の面

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の面積が、抜けてしまっているからです。

よって、求める答えは
元の円錐の表面積 - 小さい円錐の表面積 + 上の面の面積

∴75π-12π+ 2²π = 67π
です!

最後に

ここまで、円錐と円錐台の表面積・体積の求め方を説明してきました。
紹介してきたように、円錐は「表面積は展開図で考える」「側面の円周と底面の円周は一致する」「円錐台は比が重要」などなど気をつけることがいくつかあります。
それらをきっちり理解し、円錐の問題で必ず得点できるよう練習しましょう!

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この記事を書いた人
Vbvbxw6adqr29jokme3zvexq1lzgnvbp3qln4jdlkvb80bmg5xw7rywpnpwkkomp?w=72
現役で東京大学 文科I類に合格しました。夏からアメリカに1年留学するのですが、マジで太りたくないので野菜しか食べないつもりです。 得意科目は英語と数学で、国公立対策の記事を中心に執筆しています。

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