球の表面積の求め方の公式の覚え方!高校受験生必見!

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はじめに

本記事では球の表面積の求め方についてご紹介します。高校入試を控えたあなた。あまりに多い数学の公式をゴチャゴチャに覚えてしまってはいませんか?
数学の公式を覚える時には、どうしてその公式が導かれるのか、その公式を使うと何がわかるのか、他の似た公式との違いは何かなど非常に多くのことを整理して覚える必要があります。
そこで、悩める受験生であるあなたに今回は「球の表面積の公式」についてお話します。体積の公式との関係、どんな問題で使うのか、円錐との融合問題など入試に役立つ情報をお話します。

球の表面積の求め方

半径rの円の面積はπr²で求める事ができますが、それでは球の表面積はどうやって求めればいいのでしょうか?
ちなみに、「表面積」というのは立体の表面の面積のことを言います。なので、「球の表面積」とは言いますが「円の表面積」とは言いません。

球の表面積は次の公式で求めることが出来ます!

πは円周率(3.141592...)ですね。
球の表面積は半径rの2乗に比例します。

球の表面積の例題1

半径5の円の表面積は?

公式にr=5を代入して

球の表面積の例題2

表面積が36πの球の半径は?

今度は表面積から半径を求める問題なので、公式にS=36πを代入して

このように半径から表面積を求めることも、表面積から半径を求めることもどちらも可能です。
出題のされ方に応じて使い分ける必要があるので、しっかりと押さえておきましょう!

語呂合わせで覚える球の表面積!

実は、中学校で習う数学では、球の表面積を求める公式を厳密に導くことは出来ません。
そこで、「球の表面積と体積の公式は暗記しよう」ということになっています。公式を導くためには高校の「数学3」で習う積分を使えるようになる必要があります。こればっかりはどうしようもありません。

そこで、一先ず中学校で習う時には語呂合わせを使って確実に暗記をするのがおすすめです。
定番の暗記方法が、
「表面積には心配があるある」
です

rの2乗を「あるある」としていることがポイントです。
数式の形で覚えることは難しくても、「心配があるある」なら一瞬で覚えられると思います。
この語呂合わせで公式を完全に覚えてしまいましょう!

半球の表面積は要注意!

さて、高校入試で頻出の問題の一つに「半球の表面積」が挙げられます。
次のような半径rの表面積はいくつになるでしょうか。

球の表面積が4πr²だったから、半球の表面積はその半分で2πr²…と考えるのは軽率です。

図をよく見てみましょう。球を割って半球にしたことで、それまで見えなかった底面が見えていますね?
当然そこも表に出てきていますので、「半球の表面積」には底面、すなわち半径rの円を含める必要があるのです。
よって求める半球の表面積は、2πr²+πr²=3πr²となります。

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