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球の表面積の求め方の公式の覚え方!高校受験生必見!

この記事は最終更新日から1年以上が経過しています。内容が古くなっているのでご注意ください。

はじめに

高校入試を控えたあなた。あまりに多い数学の公式をゴチャゴチャに覚えてしまってはいませんか?
数学の公式を覚える時には、どうしてその公式が導かれるのか、その公式を使うと何がわかるのか、他の似た公式との違いは何かなど非常に多くのことを整理して覚える必要があります。
そこで、悩める受験生であるあなたに今回は「球の表面積の公式」についてお話します。体積の公式との関係、どんな問題で使うのか、円錐との融合問題など入試に役立つ情報をお話します。

球の表面積の求め方

半径rの円の面積はπr²で求める事ができますが、それでは球の表面積はどうやって求めればいいのでしょうか?
ちなみに、「表面積」というのは立体の表面の面積のことを言います。なので、「球の表面積」とは言いますが「円の表面積」とは言いません。

Gr1deekzx9vp658dz2xy71pdglajyypnvdjnnv0wqebrmwjeo3mrq4lgbkl6wz4l?w=430

球の表面積は次の公式で求めることが出来ます!

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πは円周率(3.141592...)ですね。
球の表面積は半径rの2乗に比例します。

例題1

半径5の円の表面積は?

Gzpjdpzkep6oar3qnd2glbexbqymyp9lz9qo5r9kmjj8dv4xwgw01v7lpz2klrv6?w=430

公式にr=5を代入して

Apdwe5vxaeg6q173j0l5d8wkdqmnn7od3lbnrlgvbexmwzyj4roppb9kz2q2llx3?w=430

例題2

表面積が36πの球の半径は?

L470m9prldqnbe4lpxzxkmawkgj8amyeqwzady5qr319obezv6v7jwm02gqvjlpk?w=430

今度は表面積から半径を求める問題なので、公式にS=36πを代入して

Kllxrwjq1b5gpdmbylazdex0qvvknezzrbayxr8zwlp7eogj923k6mnr4w1b9qmo?w=430

このように半径から表面積を求めることも、表面積から半径を求めることもどちらも可能です。
出題のされ方に応じて使い分ける必要があるので、しっかりと押さえておきましょう!

語呂合わせで覚える球の表面積!

実は、中学校で習う数学では、球の表面積を求める公式を厳密に導くことは出来ません。
そこで、「球の表面積と体積の公式は暗記しよう」ということになっています。公式を導くためには高校の「数学3」で習う積分を使えるようになる必要があります。こればっかりはどうしようもありません。

そこで、一先ず中学校で習う時には語呂合わせを使って確実に暗記をするのがおすすめです。
定番の暗記方法が、
「表面積には心配があるある」
です

Qvg9wjvqwlmwkd1b8yrpz4jmne3ang5pvzqovzp0r5xk7ldg2go96qebxjml6wzj?w=430

rの2乗を「あるある」としていることがポイントです。
数式の形で覚えることは難しくても、「心配があるある」なら一瞬で覚えられると思います。
この語呂合わせで公式を完全に覚えてしまいましょう!

半球の表面積は要注意!

さて、高校入試で頻出の問題の一つに「半球の表面積」が挙げられます。
次のような半径rの表面積はいくつになるでしょうか。

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球の表面積が4πr²だったから、半球の表面積はその半分で2πr²…と考えるのは軽率です。

図をよく見てみましょう。球を割って半球にしたことで、それまで見えなかった底面が見えていますね?
当然そこも表に出てきていますので、「半球の表面積」には底面、すなわち半径rの円を含める必要があるのです。
よって求める半球の表面積は、2πr²+πr²=3πr²となります。

30rgj80m8g1gnqy2arwmb6vxvzejnxplpxjn7djk4p9qlebzl5r3oxdkwpwlmdl9?w=430

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体積の公式との関係~球は円錐の集合体!?~

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おさらいですが、球の体積を求める公式はこのようになっています。

3jmr1oql8xvxkpbgwbzzmqdr94j5akw6jlkak0p71lyd3jemnev2w6rgao2qkprd?w=430

球の体積の求め方の公式!覚え方や高校入試に役立つ解説

球の体積の公式と球の表面積の公式を使うと、次の関係式が導けます。

Wgypb7dnvo1bgqy0plklprjg29wqajdpyyzyz4edwk5b78va3jm6rexzmx0vv9dx?w=430

この関係式がどのようにして導かれるのかということを考えてみると、公式を覚える上で役立つ様々なことがわかります。
立体図形を学んだことがある人なら、3分の1という数字にピンときたかもしれません。そう、錐体の体積を求める時に現れる係数ですね。
球の表面の一部分の中で、凄く小さい面積sの円を底辺とした円錐を考えてみます。

0165gbexk9a28lmvq46dmwgn50kzo8qv1rqaxglbbjzpreqv3wy7prd1ojojevb4?w=430

凄く小さい範囲を考えているので、歪みは無視すると考えて、これは底面積s高さrの円錐だと考えることが出来ます。
その体積をvとすると

Gq7xp6dk2xkdbm67rw1nx5lylzewygm17wdaeqzv9v3j8qbppjr4gaom0gbxjjzz?w=430

となります。
このような円錐を球の表面積全てで考えていきそれらを足し合わせると、最初に示した関係式

L470m9prldqnbe4lpxzxkmawkgj8amyeqdxady5qr319obezv6v7jwm02gqvjlpk?w=430

に辿り着くことが出来ます。
この関係式を覚えていれば、体積と表面積を求める公式のどちらかを忘れてしまったとしてももう片方を思い出すことが出来ますね!
また、体積はr³、表面積はr²に比例するというのもこの関係を知っておけば納得です。

応用問題を解いてみよう

L470m9prldqnbe4lpxzxkmawkgj8amye7jnady5qr319obezv6v7jwm02gqvjlpk?w=430

さて、ここまでで球の表面積について基本事項がわかったかと思います。
ここで高校入試で出題されるような応用問題を1題解いてみましょう!
今回は、公立高校の入試で頻出の半球と円錐を比較する問題を扱います。

【問題】
半径9cmの半球の表面積と、ある円錐の表面積が等しいという。
この円錐の底面の半径が9cmのとき、この円錐の高さを求めよ

Ejy6kgm58bzjvqr9kbq4v1xrepl7nldyva7nmwlg6oa2kyedgwdx0znjp3pq5jwr?w=430

【解説】
半径9cmの半円の表面積は、3×π×9²より243πcm²
底面の半径が9cmの円錐の表面積は、母線の長さをlcmとして
9π(9+l)cm²なので、243=9(9+l)よりl=18
母線が18,底面の半径が9cmの円錐の高さをhcmとすると、三平方の定理を使って
h=√(18²-9²)=9√3
よって答えは9√3cm

円錐の表面積・体積の簡単な求め方を解説!公式を証明しよう!

円錐の表面積や高さの求め方がわからない人はこちらの記事をぜひ読んで下さい。
先程もお話しましたが、高校入試では「半球と円錐を比較する」様な問題がよく出題されます。
球に関する知識と円錐に関する知識をどちらも正しく押さえておくことで、入試で他の受験生と差をつけることができますよ!

最後に

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今回あなたに確実に覚えておいてほしいことは、
「表面積には心配があるある」
です。
どうしてそうなるのか教わらないで公式を覚えるというのは、すごく気持ち悪さが残るかもしれません。(私もそうでした。)
しかし、これから先高校で数学の勉強を続けていけばこの公式の理由がわかります。
そのためにも是非球の表面積の公式を使いこなして高校入試を突破しましょう!
(余裕がある人は半球の面積もしっかり覚えておきましょう)

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