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【判別式とは】D/4の意味とは?公式と解き方をマスターしよう!

この記事は最終更新日から1年以上が経過しています。内容が古くなっているのでご注意ください。

はじめに

名前をよく聞く「判別式」。

・何を判別しているの?
・なんであの公式になるの?
・D/4とは?
といった疑問を持ったことがあるのではないでしょうか。
今回の記事では二次方程式の「判別式」を取り上げます。
判別式の公式や意味から、判別式の公式を使う問題で解き方まで詳しく解説しています。
ぜひ、判別式を使いこなせるようになってください!

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判別式とは?

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まずは判別式とは何かについて見ていきましょう!

判別式の公式

判別式の公式は教科書や授業で見るように

Wgypb7dnvo1bgqy0plklprjg29wqajdnrzmyz4edwk5b78va3jm6rexzmx0vv9dx?w=430

という形をしています。

判別式は英語でdiscriminantといいます。
その頭文字を取ってDと表記します。

判別式を詳しく解説!

Dzw5nqlm8jxv7rrjz2ok1ee4an3ynv7wrrqylqbqwbpg05x6mzgwdk9dpv2jx1db?w=430

判別式と言われても、何を判別するのか、どんな時に使うのか分からないですよね。

まずは判別式を使うことで何ができるのかを見ていきましょう!

判別式を使う意味は?

判別式とは、二次方程式の実数解の個数を判別することができるという利点を持った式なんです!

0165gbexk9a28lmvq46dmwgn50kzo8qwlgpaxglbbjzpreqv3wy7prd1ojojevb4?w=430

判別式が

・0より大きい
・0と等しい
・0より小さい

の3つの場合で、二次方程式の実数解の個数が判別できるのです。

判別式の値で実数解の個数が判別できる理由

ではなぜ、判別式の値の大小で実数解の個数が判別できるのでしょうか??



ここでもう一度判別式の公式を見てみましょう。

30rgj80m8g1gnqy2arwmb6vxvzejnxp1qmdn7djk4p9qlebzl5r3oxdkwpwlmdl9?w=430

この形、どこかで見た覚えはありませんか?



そうです、二次方程式の解の公式に含まれていました。

まずは二次方程式の解の公式を思い出してみましょう!

E208bwkevmxqg9bk5d4qgxlzzp0dnwj3q1raj6jmyeor3n7alv8bwp2wr1qryg13?w=430

ルートの中身が判別式と全く同じ形になっていますね??



実は二次方程式の解の公式のルートの中身で実数解の個数を判別できるのです。


実数解の個数を知りたい時に、毎回二次方程式の解の公式を引用するのはとてもめんどくさいですね??
説明を簡略化するために、ルートの中身を判別式とする表記法ができたわけです

【D>0のとき】

Xlx4qzwrmeqd2wzb79byxgvp4px5yw0krxxo01r3nkemdkzjlago8vlj6qb5dor9?w=430

【D=0のとき】

Nmavrqmo3pmedjbwr7z6alqd1znwyo6qd7ynyx8xvlqk92eb4vrpgkj05gbjgm70?w=430

【D<0】のとき

5e63jkknj6me2rzq4jgp0my5qg1wnnm05mmadw7bxrokpbz89vaxledlv3erzvow?w=430

上のような理論で、判別式で解の個数の判別ができます。



実数や複素数についての詳しい解説は下のリンクをクリック!!!

⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓

実数とは?複素数・自然数との違いは?意外と知らない定義を解説!

D/4とは??

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判別式では、D/4を用いる場合もあります。

どのようなときに使うのでしょうか。

D/4を使うのは、二次方程式のxの係数が偶数のとき!

D/4を使うのは、二次方程式のxの係数が偶数のときです。

xの係数が偶数のときは、二次方程式の解の公式も簡略化できましたね?

Vbvbxw6adqr29jokme3zvexq1lzgnvbzodln4jdlkvb80bmg5xw7rywpnpwkkomp?w=430

上の式変形では、分母分子を2で割っています。
つまり、ルートの中身は4で割られていることになります。

しかし判別式Dは、式変形前の(4で割られる前の)値を示すため、
簡略化するために4で割ったD/4を用います。

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判別式Dの解き方を例題で解説!

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ここからは判別式の解き方を、例題を解きながら見てみましょう!

判別式の例題①

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【解答】

二次方程式x²+2x+2=0の判別式をDとおく。(⚠この一文を必ず書くこと!)

D/4=1-1・2
=−1<0

となるので、実数解は0個(解答終わり)

解答自体はとてもシンプルです。
ですが、注意しなくてはいけないことが1つあります。

それは、

「二次方程式〜の判別式をDとおく」

という記述が必要だということです。


「求める長さをxとおく」場合と同じく、判別式をDとおくことにも説明が必要です。

判別式の例題②

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【考え方】

この問題は、グラフを書いて、kの大きさで場合分けして共有点の個数を求める解き方以外にも解く方法があります。


判別式を用いて解く方法です。


二次関数と直線の共有点の問題を、
二次方程式の解の個数の問題として考えます。

つまり、二次関数の式と直線の式の連立させてできる二次方程式の実数解(xの実数値)の個数が共有点の数と一致することを利用します。


この問題で大切なのは、

共有点の個数を調べる問題は、二次方程式の判別式の問題に置き換えて解くことができる

ということです。

3jmr1oql8xvxkpbgwbzzmqdr94j5akwqm8eak0p71lyd3jemnev2w6rgao2qkprd?w=430

E208bwkevmxqg9bk5d4qgxlzzp0dnwj3ykxaj6jmyeor3n7alv8bwp2wr1qryg13?w=430

上のように、判別式の利用方法はほぼ2つになります。


例題①のような直接的な問題と
例題②のような共有点の個数についての問題です。

判別式を扱う大学入試問題

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判別式の公式を使って解く問題は、大学入試問題でも多く出題されます。

今回紹介する問題は東京大学の平成29年度第二次学力試験より引用しています。
判別式の意味を理解してこの問題を解いてみましょう

平成29年度第2次学力試験試験問題

Rzdqr5pkmqjd5oll4p820bzrba7gybxm6dva9xwnrjmd3qvgeexvy1k6wzyj0kl1?w=430

見た目は二次関数の問題ですが、例題②のように共有点に関する問題だと考えると判別式を用いることになります。


接線以外の直線では、曲線との共有点は0個または2個となりますが、接線では共有点は1個(重解を持つ)になります。
判別式を使うことで係数だけを取り出すことができるので、aを用いてbとkを表すことができます。


判別式は、グラフの共有点に関する問題と密接な関わりがあります。
問題文に共有点の文字が出てきたときには。判別式を思い浮かベられるようになっておくといいでしょう!

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最後に

ここまで、

・判別式とは何か
・判別式の公式の意味と解き方
・いつ判別式D/4を使うべきか
・判別式の練習問題
・判別式を使って解く大学入試問題

を見てきました。
判別式についての知識を整理できたのではないでしょうか。
最後に、この記事を読んだあなたが判別式の意味と公式の解き方をマスターしてくれることを願っています!

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この記事を書いた人
Oyzvgzwkdz8megekq25xwmdo3nl4y5yvvdayx6vlyqjzp1rabr7bv9pgj09krjjq?w=72
慶應義塾大学 理工学部に通っています。1人旅が趣味で、得意科目は数学と英語です!

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