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平方完成のやり方を1から解説!練習問題を使ってバッチリわかります。

この記事は最終更新日から1年以上が経過しています。内容が古くなっているのでご注意ください。

はじめに

あなたは「平方完成」を一瞬で出来ますか?
「外に出る項はどうやって計算するんだっけ?」とか、「2乗の係数はどういう風に扱えばいいんだっけ?」とか悩んでしまったりしませんか。

平方完成とは展開されている2次方程式を1次式の2乗の形に変形することです。
二次関数の頂点や軸の座標を調べて概形を描いたり、大小関係を調べるために欠かせない大切なテクニックです。

この記事では、平方完成のやり方を簡単に覚えるための解説から、受験生が陥りがちなミスについて解説することで、あなたの受験勉強に役立つ情報をお伝えします!

平方完成って?

Mldxd0dmwrz61ekpqxj7ble82lkgoamw18xoqpxz3v9odyb0w5agjn4vmrrn2pj3?w=430

「平方完成」という言葉をそもそも聞いたことが無い人もいるかもしれません。
平方完成とは、展開されている2次方程式を、○○²+□という形、すなわち2乗の形に変形することです。
例えば3x²+6x+8=3(x+1)²+6が成り立ちますが、左辺から右辺に変形することを平方完成、右辺から左辺に変形することを展開と言います。
その変形のやり方には公式があります。

Kmzev24gpja3b0bddlkworvyejnmnxq5pl0yme62pkgzq7l159xzrxwqv895qdgy?w=430

(2次方程式なのでa≠0)
なにやら文字がたくさん出てきてややこしいですが、これが平方完成の公式です。

これをいきなり覚えるのは大変ですが、「どうしてこの式が導けるのか」という点をしっかりと理解すれば必ず覚えることが出来ます。
それでは平方完成のやり方について詳細を見ていきましょう。

一番簡単な平方完成のやり方の解説

平方完成は次の3ステップで行います。

Kdxj5vn8rvw2qlpw0a79m1qzpvolnqa4yp9nxmk5ze3b4gdjjxky6regdbwav1l7?w=430

Xlx4qzwrmeqd2wzb79byxgvp4px5yw0kr6ko01r3nkemdkzjlago8vlj6qb5dor9?w=430

①として、まずx²の係数aでxの項をくくります。
こうすることで、()²の形を作る準備を整えます。

Gwamrp8bzqy4jar9ldbemxg7p6e3nzkwgzzyjkowzrvd0kl52qnv1wgmxp9empvw?w=430

②xの係数がb/aになっていることに注目して、2乗するとx²+b/a x +○という形になる1次式を考えます。
下の式のように、xの係数Aを2で割ったものを定数項に持って来れば良いことがわかりますね。

Lrkby3xy7okgzl69k4r15neajgpjy1zwdb9o0q2em8mqxd3dlbvrvbwpwzmd458a?w=430

Aがb/aだと考えて式変形を進めていきましょう。

5e63jkknj6me2rzq4jgp0my5qg1wnnm0140adw7bxrokpbz89vaxledlv3erzvow?w=430

③最後に定数項をかっこの外に出してあげれば平方完成完了です。
{}の前にaが付いているので、忘れずに掛けましょう。

このように、一見すると何が起きているのかわかりにくい平方完成ですが、1つ1つの式変形が何を目的にしているものなのか考えながら行うことで自然とやり方が頭に入ってきます。

平方完成の計算問題

さて、平方完成のやり方がわかったところで例題を解いてみましょう。
次の3つの二次関数を平方完成してください。

Wgypb7dnvo1bgqy0plklprjg29wqajdngg4yz4edwk5b78va3jm6rexzmx0vv9dx?w=430

①はx²の係数が1なので最もシンプルな形です。
②、③は最初にx²の係数でくくることを忘れずに。
特に③はx²の係数が-の値なので、最後に定数をかっこの外に出す時に要注意です。

それでは解答です。

5e63jkknj6me2rzq4jgp0my5qg1wnnm0gggadw7bxrokpbz89vaxledlv3erzvow?w=430

間違えてしまった人は、解答を見ながら実際に手を動かして計算してみましょう。
自分がどこで間違えてしまったのかというポイントを復習で確認することで、次から問題を解く時にそこを意識することができるようになります。

平方完成で多くの人が計算ミスをしてしまうポイントは、②のように分数を自乗するときと、③のようにx²の係数がマイナスのときです。
うっかり間違えてしまわないように、「分数の掛け算」と「-の係数」にはしっかりと気をつけましょう!

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平方完成をする目的

Gd3qdbx7qqbdove0l2wgzmpvg3wpyl5xelkoykm6r4baked58jjzl19nxrlkg015?w=430

さて、ここまで平方完成のやり方について見てきましたが、そもそも平方完成って何のために行うんでしょうか?
実際の入試問題で「次の二次関数を平方完成しろ」なんていう問題が出ることはまずありません。

平方完成自体が問題になることはありませんが、平方完成が出来なければ解けない問題というのはたくさん有ります。
それは、平方完成をすることによって「二次関数について様々な情報がわかる」からなのです。

平方完成によってグラフの頂点を求める

平方完成をすると、その二次関数のグラフの頂点がわかるのです。

Rzdqr5pkmqjd5oll4p820bzrba7gybxmda7a9xwnrjmd3qvgeexvy1k6wzyj0kl1?w=430

これはy=x²+6x+8のグラフです。
右辺は先ほどの例題①なので、y=x²+6x+8=(x+3)²-1とわかっていますね。
二次関数のグラフなので必ず頂点があるのですが、x²+6x+8からでは頂点の座標はわかりません。
しかし、平方完成した形、すなわち(x+3)²-1を見るとグラフの頂点は一発でわかるのです。

(x+3)²は実数を2乗したものなのでどんなxの値でも0以上になります。
(x+3)²=0となるのはx=-3のときで、その時y=0²-1=-1です。
この事からyの最小値は-1で、その時のxの値は-3となります。
yのグラフは下に凸なので、(-3,-1)こそがこの2次関数の頂点となります。

このように、平方完成することでa>0であればyの最小値、a<0であれば最大値が求まり、ここから頂点がわかるのです!

Apdwe5vxaeg6q173j0l5d8wkdqmnn7owg8wnrlgvbexmwzyj4roppb9kz2q2llx3?w=430

最大・最小を求める

2次関数の頂点のx座標はそのまま軸のx座標となっています。
二次関数の軸の位置は、最大・最小値を求める問題に大きく関わってきます。

二次関数の最大・最小問題については、この記事を参考にしてください!

【二次関数】グラフと公式を使った最大値・最小値問題の解き方!

入試問題で平方完成を活用しよう

先ほどもお話したとおり、大学入試において「○○を平方完成せよ」という問題はまず出題されません。

しかし、「こういう問題が出てきたら平方完成をするんだ」というような典型例はあります。
それが先ほども見てきた「グラフの頂点」や「二次関数の最大値・最小値」を求める問題です。
これらの出題はセンター試験でも頻出です。

今回はセンター数学1Aからグラフの頂点やその最小値を求めるような問題を紹介します。

平成29年度センター試験数学1A 第一問(3)

Oyzvgzwkdz8megekq25xwmdo3nl4y5owe56ax6vlyqjzp1rabr7bv9pgj09krjjq?w=430

独立行政法人大学入試センターHPより引用

解説

まず最初に、y=g(x)の頂点を聞かれています。
「頂点を求める時には平方完成」でしたから、g(x)の式を平方完成してみましょう。
g(x)はxの関数なのでaも1つの数字と見て平方完成することが出来ます。
x² -2(3a²+5a)x+18a⁴ +30a³+49a²+16
=[{x-(3a²+5a)}²-(3a²+5a)²]+18a⁴ +30a³+49a²+16
={x-(3a²+5a)}² -9a⁴ -30a³-25a²+18a⁴ +30a³+49a²+16
={x-(3a²+5a)}²+9a⁴ +24a²+16

よって頂点の座標は(3a²+5a,9a⁴ +24a²+16)

頂点のx座標が、3a²+5aとわかったので、今度はaを変数と考えて3a²+5aの最小値を求めることになります。
下に凸の2次関数の最小値を求める際にも平方完成が使えるのでした。
3a²+5a=3(a²+5/3a)=3(a+5/6)²-25/12なので
3a²+5aの最小値は-25/12

問題の指示のとおりにa²=tと置くと、
頂点のy座標は9t²+24t+16です。
ここで、t=a²なので、tは0以上の実数であることに気をつけましょう。
9t²+24t+16=(3t+4)²より、この関数はtが0以上の範囲ではt=0の時に最小になることがわかります。
よって求める最小値は16です。

センター試験の問題も平方完成だけで解ける!?

この問題を解いてみて驚きませんでしたか?
平方完成だけで1問解くことが出来ました。

なんとセンター試験レベルの入試でも、平方完成をするだけで解くことができる問題が出題されるのです。
平方完成が大学入試において超重要な単元であることがここからもわかります!

最後に

ここまで平方完成のやり方や間違えがちなポイント、更には平方完成を使って解くことができる入試問題を紹介してきました。
とにかく計算ミスをしがちな範囲ですから、どういった場面で計算ミスをしてしまうのか気を使いながら解くようにしましょう。

繰り返しになりますが、「分数の掛け算」と「-の掛け忘れ」が最も起こりやすい計算ミスです。
入試問題でよく出る単元ですからしっかり対策をして、臨みましょう!

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