【方べきの定理】公式や証明問題の覚え方!の逆とは?高校生向け問題も

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はじめに

"方べきの定理、方べきの定理の逆とは?あなたは理解できていますか?
名前も変だし、普段あまり出てこないので忘れがち…

でも実は、公式を使えるだけでなく証明問題を解く方法まで知っておいてほしいくらいに、方べきの定理は重要なんです。
実際にセンター試験(2015年)にも方べきの定理の問題が出題されています。

そこで今回の記事では、方べきの定理の公式だけでなく、公式の証明問題、さらには方べきの定理の逆とその証明問題まで解説しています。
また、例題もあるので覚え方や使い方も理解できるようになっています!


センター対策をしたい高校生向けに方べきの定理が出題された2015年のセンター試験問題も抜粋して載せているので、自信のある方は挑戦してみてください!"

方べきの定理とは?

方べきの定理とは
円に交わる2本の直線に関する公式です。
下のように3つの場合で成り立つ公式です。
なんだか特殊な図形ですね!このような形の証明問題を見たらすぐに方べきの定理を思い浮かべましょう!

【パターン1】

【パターン1’】

【パターン2】

3つの図形パターンがわかったところで、それぞれについて成り立つ方べきの定理の公式を見ていきましょう!

パターン1

まずはパターン1からです。

上の図形に対して、

AB×AC=AD×AE

が成り立ちます。

これを方べきの定理と言います。

方べきの定理の覚え方は私の場合は公式を丸暗記するのではなく、図形を見て公式のイメージを掴んでいました。
特に方べきの定理は図形的なイメージで覚えやすい定理ではないでしょうか。

言葉で説明すると、
円の外側の点から円に向かって二点で交わるように2本の直線を引いたとき、
外側の点から手前の交点までの距離と、奥の交点までの距離をかけたものが等しくなるというイメージです。

【パターン1’】

次はパターン1’についてです。

点A が円の内部にあるために図形の見た目がパターン1とかなり違っていますが、成り立つ公式はパターン1と同じです。

パターン2

パターン2は、パターン1の特殊な場合についての公式になります。

パターン1では円と2つの交点を持っていた直線AEが
パターン2では円の接線になっています。

特殊な場合といっても、難しく考える必要はありません。

パターン1の点Dと点Eが重なったと考えれば悩むことなく

AB×AC=AD ²

という式が出てきますね!

方べきの定理の証明

方べきの定理は三角形の相似を用いると簡単に証明することができます。

パターン1

四角形BDECは円に内接しているので、

∠ABD=∠AECー①  

また、∠Aは共通ー②

①②より二組の角がそれぞれ等しいので

△ABD∽△AEC



それぞれの辺の長さについて
AB:AE=AD:AC

∴AB×AC=AD×AE(方べきの定理)

パターン1’

パターン1’は、角度が等しいことを示すために円周角の定理を使いますが、それ以外はパターン1と同じ証明方法になります。


円周角の定理より、

∠ADB=∠ACEー①

対頂角∠Aは等しいー②

①②より
△ABD∽△AEC
(以降はパターン1と同じ)

パターン2

接弦定理より、

∠ADB=∠ACDー①
∠Aは共通ー②

①②より

△ADB∽△ACD

よってAB:AD=AD:AC

∴AB×AC=AD²

三角形の相似を利用すれば簡単に証明することができましたね??

接弦定理の記事もどうぞ!

接弦定理とその証明を図で詳しく解説!接弦定理の逆も紹介◎

方べきの定理の逆

方べきの定理には、「逆」と言うものが存在します。

方べきの定理ででてきた式

AB×AC=AD×AE

が成立していれば、4点B、C、D、Eは同一円周上にあることが証明できると言うものです。

が成立すれば

図の点線のように4点B、C、D、Eが同一円周上にあることが証明できます。

この記事を書いた人
慶應義塾大学 理工学部に通っています。1人旅が趣味で、得意科目は数学と英語です!

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