【集合】記号の意味やド・モルガンの法則を問題を解きながら解説!

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和集合はベン図で考えよう!

和集合はセンター試験などの大学受験で狙われやすいポイントです。ここでは基本的な考え方を説明します。

2つの場合は「足して、引く」

まず、以下の問題を解いてみてください。

【問題】
1以上30以下の自然数を考える。
A={x|xは2の倍数}
B={x|xは3の倍数}
このとき、A∪Bの要素の数を求めよ。


【解説】
1から30までで2の倍数は15個、3の倍数は10個あるから、足して25個…とやるのは間違いです。ベン図で確認してみましょう。

このようになります。図からわかるように、2の倍数の個数と3の倍数の個数を単に足すだけだと、2の倍数であり3の倍数である数(真ん中の青い斜線のところ)が2回数えられてしまうんですね。
したがって必要なことは、2の倍数であり3の倍数である個数、つまり6の倍数の個数を引くことだとわかります。

よって正解は、
15(2の倍数の個数)+10(3の倍数の個数)-5(6の倍数の個数)
=20
です!

3つの場合は「足して、引いて、足す」

【問題】
1以上30以下の自然数を考える。
A={x|xは2の倍数}
B={x|xは3の倍数}
C={x|xは5の倍数}
このとき、A∪B∪Cの要素の数を求めよ。


【解説】

1から30までの自然数において、
2の倍数は15個
3の倍数は10個
5の倍数は6個
です。

ここから、先ほどやったように重なりを引いていきます。
2と3の最小公倍数は6
3と5の最小公倍数は15
5と2の最小公倍数は10

6の倍数は5個
15の倍数は2個
10の倍数は3個

ですね。

さて、ここで重要なのは、「引きすぎてはいないか?」ということです。
先程のベン図で、重ねてみたり引いたりしてみたりしてください。どこか1つ、6+15+10-5-2-3だと不都合が出て来る箇所があります。

この赤いところです。
ここは、最初の2の倍数、3の倍数、5の倍数を足すところで2回余分に足されているのですが、6の倍数、15の倍数、10の倍数を引くところで3回引かれてしまっています。
つまり、1回余分に引かれている状態なのです。

よって赤い部分、つまり30の倍数の個数を足すと、答えが求まります。
6+15+10
-5-2-3
+1
=22

よって、22個です。

センター試験を解いてみよう

では、最後にセンター試験にチャレンジしてみましょう。



平成28年度数学1A 第1問

http://www.dnc.ac.jp/albums/abm.php?f=abm00007094.pdf&n=2801-0402+suugaku1A.pdf

【解答】
サ…3
シ…0
ス…5
セ…4

※サを、1にした方は多いのではないでしょうか。
A={1, 2, 3}などからわかるように、要素を{}で囲うと、それは集合としてみなされます。
つまり{0}は集合であり、Aの部分集合です。なので∈ではなく⊂を使います。


ちなみにセンター試験で集合が出題されるときは、必要条件・十分条件も一緒に出されることが多いです。こちらの記事もぜひ読んでみてくださいね。

必要条件・十分条件とは?例題を解きながら違いをマスターしよう!

最後に

ここまで集合やド・モルガンの法則などについて解説してきました。
最初にも言ったとおり、大事なのは日本語を正しく理解することです。記事で日本語の意味を確認したら、問題集やセンターの過去問で練習してください!
あなたが集合をマスターできることを願っています。

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この記事を書いた人
現役で東京大学 文科I類に合格しました。夏からアメリカに1年留学するのですが、マジで太りたくないので野菜しか食べないつもりです。 得意科目は英語と数学で、国公立対策の記事を中心に執筆しています。

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