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【一次不等式の解き方】証明や絶対値の計算も解説!

この記事は最終更新日から1年以上が経過しています。内容が古くなっているのでご注意ください。

はじめに

あなたは一次不等式の解き方を理解できていますか?
一次方程式を学習した後は、一次不等式ですね。
不等式の公式とは?不等式の証明が難しい…と思っていませんか?
今回の記事では、普通の一次不等式の解き方や絶対値が付いたバージョンの解き方も詳しく解説しています。
一次不等式の計算問題が分からないそこのあなた、この記事の解き方を参考にしてみてください。

同時に一次方程式の記事も書いています。併せて読んでみてください。

不等式とは?

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不等式とは、不等号(≦、≧、<、>)を用いて大小を表している式のことです。具体的にはx−2>1やx+1≦2という式になります。

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一次不等式とは?

一次不等式とは、変数xの右上の数(次数)が1である不等式を指します。次数が1の場合は通常右上の数字を省略します。
不等式を解くとは、不等式を式変形してxの範囲を出すことです。x<1やx≧2と言う形になればxの範囲を出したことになります。

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不等式を解くときの3つの注意点

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不等式を式変形するときには3つの注意点があります。

①A<BならA+C<B+C、A-C<B-C

不等式を解くときの注意点①は「不等式の両辺に同じ数を足したり引いたりしても、不等式の向きは変わらない」ということです。
これは1次方程式のときと同じなので、受け入れやすいと思います。

②A<B、C>0ならA×C<B×C、A/C<B/C

不等式を解くときの注意点②は「両辺に同じ正の数をかけたり、両辺を同じ正の数で割ったりしても不等号の向きは変わらない」ことです。
これも1次方程式のときと同じなので、特に気にしなくてもOKです。

③A<BC<0ならA×C>B×C、A/C>B/C

ここが不等式の式変形において最も重要な注意点です。
不等式を解くときの注意点③は「両辺に同じ負の数をかけたり、両辺を同じ負の数で割ると不等号の向きが変わる」ことです。ここだけ不等号の向きが変わるので要注意です⚠

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【まとめ】

不等式を解くときに最も重要なことは「両辺に負の数をかけたり、両辺を負の数で割ると不等号の向きが変わること」です。

不等式の解き方

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上の3つの注意点に気をつけながら、一次不等式を解くための4つのSTEPを見ていきましょう。例題を元に詳しく解説していきます。

【例題】

不等式x-4<2x+6を解きなさい。

【STEP1】xを左に集めよう!

注意点①より、両辺に同じ数を足したり引いたりしても不等号の向きは変わらないので、不等式の式変形においても変数を【移項】することができます。一次方程式を解くときと同様にxを【移項】して左辺に集めましょう。

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【移項】のときは「符号を変えて移す」でしたね◎

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【STEP2】数字は右に集めよう!

文字の移項が終わったら数字の移項です。数字は右辺へ集めましょう!

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【STEP3】一次不等式の左辺・右辺を整理しよう!

移項が終わったら、左辺・右辺それぞれ計算して整理しましょう!

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【STEP4】左辺をxのみに!

左辺にxだけを残して初めて「不等式を解いた」ことになります。今回の例題では「−」が残っているので両辺に−1をかけて左辺をxのみにしましょう。
ここで注意点③「負の数をかけると不等式の向きが変わる」ことに気をつけてください。

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これで不等式を解いたことになります。符号の向きにはくれぐれも注意して下さい!

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絶対値バージョンの不等式の解き方

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絶対値の付いている不等式の解き方を例題を元に見ていきましょう。

【例題】

一次不等式|x−5|>3を解きなさい。

【解答】

まずは絶対値を外しましょう。
絶対値の中身が正、0、負のどれなのか分からないときは場合分けで解くんでしたね◎

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①x-5>0⇔x>5のとき

|x-5|>3
x-5>3
x>8
これはx>5を満たしている。(ここ重要!!)

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オレンジ色の範囲は場合分けの時に求めた範囲です。つまり、絶対値を外した後の不等式の解がオレンジ色の範囲に含まれてなくてはいけません。

解(青色)を数直線上に記してみると、オレンジ色よりも右側にありますね??これは解(青色)がオレンジ色(場合分けの条件)に含まれていることを示しています。なので青色は解として適切であるということがわかります。

このように2つの範囲を比べる場合には、数直線を必ず書きましょう。頭のなかだけで計算しようとすると混乱してしまいます。

②x-5=0⇔x=5のとき

0>3
となり不適。

③x-5<0⇔x<5のとき

|x-5|>3
−(x-5)>3
−x+5>3
−x>−2
x<2
これはx<5を満たしている。(ここ重要!!)

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①のときと同様に数直線で、解が場合分けの条件を満たしているかを確認しましょう。

場合分けの条件(オレンジ色)はx<5で、解はx<2となっています。オレンジ色よりも左に青色があるので、場合分けの条件(オレンジ色)が解(青色)を含んでいますね。x<2は解として適切であることが確認できました。

【まとめ】絶対値バージョンの不等式を解く時に気をつけるべき3つのこと

・絶対値付きの不等式は、絶対値の中身が正、0、負で場合分けをすること。
・解が場合分けの条件を満たしているかどうかを確認すること。
・数直線を書いてxの範囲を確認すること。

一次不等式の例題

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ここからは一次不等式の例題を見ていきましょう。

【練習問題】

【練習問題1】
x-3>8を解きなさい。

【練習問題2】
2x<3x-8を解きなさい。

【練習問題3】
4x+7≦x−4を解きなさい。

【練習問題4】
2x+3≧5x−2を解きなさい。

【練習問題5】
|2x−4|>2を解きなさい。

【解答】

【練習問題1】
x-3>8を解きなさい。

解き方のSTEP2より数字を右辺に移行して
x>8+3
x>11

【練習問題2】
2x<3x-8を解きなさい。

解き方のSTEP1より文字を左辺に移行して
2x-3x<-8
-x<-8
両辺を−1倍して
x>8
(負の数をかけたから不等号の向きが変わった)

【練習問題3】
4x+7≦x−4を解きなさい。

文字を左辺、数字を右辺に移行して
4x−x≦−4−7
3x≦−11
x≦−11/3

【練習問題4】
2x+3≧5x−2を解きなさい。
2x-5x≧-2-3
-3x≧−5
x≦5/3

【練習問題5】
|2x−4|>2を解きなさい。

①2x−4>0②2x−4=0③2x−4<0で場合分けをする。

①のとき2x−4>0⇔2x>4⇔x>2のとき
2x−4>2
2x>6
x>3
これはx>2を満たしている。

②のとき2x−4=0⇔2x=4⇔x=2のとき
2x−4=2
2x=6
x=3
これはx=2を満たしていないので不適。

①のとき2x−4<0⇔2x<4⇔x<2のとき
−(2x−4)>2
-2x+4>2
-2x>-2
両辺を−2で割ると
x<1
これはx>2を満たしている。

一次不等式を利用して解く文章題

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一次不等式を利用して解く文章題は定期テストで頻出です。自分で確実に不等式を立てられるようにいろんな問題を問いて練習しましょう。

【例題】

A君は今10000円持っています。目の前に1回200円のくじ引きと1回400円のくじ引きがあり、どっちのくじをを何回引くか迷っています。
「合計40回引くとおまけが付きます!」という看板を見たので両方合わせて40回引くことにしました。合計で40回くじを引くために必要な金額が10000円を超えないようにするには、どちらを何回以上引けばいいですか。

【解答】

何回以上引けばいいかを求めるので、くじを引く回数を文字で置けば良さそうですね。

1回200円の記事をx回引くとする。(もちろん1回400円のくじを引く回数をxと置いても良い。)

このとき、400円のくじは(40−x)回引く。

合計金額が10000円以下になればいいので
200x +400(40-x)≦10000
200x +16000-400x≦10000
200x -400x≦10000-16000
-200x≦−6000
−x≦−30
x≧30

よって合計金額が10000円を超えないようにするには、40回のうち、1回200円のくじを30回以上引けばいい。

不等式は入試に出るの?

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「中学で習う一次不等式なんて試験に出ない」なんて思っていませんか?
実は一次不等式、【センター過去問(追試験)】に出題されています。

平成29年度追・再試験の問題より引用

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ルートが出てきていますが、上で解説した絶対値付きの不等式の問題と同じ方法で解くことができます。
ルートの大小比較や有理化などの知識が必要になります。中学3年生であれば解けてほしい問題です。

リンクから解答にも飛べるので解いた方は確認してみてください。

最後に

ここまで
・不等式とは何か
・一次不等式を解くときの3つの注意点
・一次不等式の解き方
・絶対値付きの一次不等式の解き方
・一次不等式の例題
・一次不等式を利用して解く文章題
・入試問題に出る一次不等式
について見てきました。
簡単なように思えますが、場合分けが非常に難しい問題が出題されることもあります。しっかりと勉強しておきましょう。
あなたが一次不等式を確実に解けるようになることを願っています!

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この記事を書いた人
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慶應義塾大学 理工学部に通っています。1人旅が趣味で、得意科目は数学と英語です!

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