【一次不等式の解き方】証明や絶対値の計算も解説!

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絶対値バージョンの不等式の解き方

絶対値の付いている不等式の解き方を例題を元に見ていきましょう。

【例題】

一次不等式|x−5|>3を解きなさい。

【解答】

まずは絶対値を外しましょう。
絶対値の中身が正、0、負のどれなのか分からないときは場合分けで解くんでしたね◎

①x-5>0⇔x>5のとき

|x-5|>3
x-5>3
x>8
これはx>5を満たしている。(ここ重要!!)

オレンジ色の範囲は場合分けの時に求めた範囲です。つまり、絶対値を外した後の不等式の解がオレンジ色の範囲に含まれてなくてはいけません。

解(青色)を数直線上に記してみると、オレンジ色よりも右側にありますね??これは解(青色)がオレンジ色(場合分けの条件)に含まれていることを示しています。なので青色は解として適切であるということがわかります。

このように2つの範囲を比べる場合には、数直線を必ず書きましょう。頭のなかだけで計算しようとすると混乱してしまいます。

②x-5=0⇔x=5のとき

0>3
となり不適。

③x-5<0⇔x<5のとき

|x-5|>3
−(x-5)>3
−x+5>3
−x>−2
x<2
これはx<5を満たしている。(ここ重要!!)

①のときと同様に数直線で、解が場合分けの条件を満たしているかを確認しましょう。

場合分けの条件(オレンジ色)はx<5で、解はx<2となっています。オレンジ色よりも左に青色があるので、場合分けの条件(オレンジ色)が解(青色)を含んでいますね。x<2は解として適切であることが確認できました。

【まとめ】絶対値バージョンの不等式を解く時に気をつけるべき3つのこと

・絶対値付きの不等式は、絶対値の中身が正、0、負で場合分けをすること。
・解が場合分けの条件を満たしているかどうかを確認すること。
・数直線を書いてxの範囲を確認すること。

一次不等式の例題

ここからは一次不等式の例題を見ていきましょう。

【練習問題】

【練習問題1】
x-3>8を解きなさい。

【練習問題2】
2x<3x-8を解きなさい。

【練習問題3】
4x+7≦x−4を解きなさい。

【練習問題4】
2x+3≧5x−2を解きなさい。

【練習問題5】
|2x−4|>2を解きなさい。

【解答】

【練習問題1】
x-3>8を解きなさい。

解き方のSTEP2より数字を右辺に移行して
x>8+3
x>11

【練習問題2】
2x<3x-8を解きなさい。

解き方のSTEP1より文字を左辺に移行して
2x-3x<-8
-x<-8
両辺を−1倍して
x>8
(負の数をかけたから不等号の向きが変わった)

【練習問題3】
4x+7≦x−4を解きなさい。

文字を左辺、数字を右辺に移行して
4x−x≦−4−7
3x≦−11
x≦−11/3

【練習問題4】
2x+3≧5x−2を解きなさい。
2x-5x≧-2-3
-3x≧−5
x≦5/3

【練習問題5】
|2x−4|>2を解きなさい。

①2x−4>0②2x−4=0③2x−4<0で場合分けをする。

①のとき2x−4>0⇔2x>4⇔x>2のとき
2x−4>2
2x>6
x>3
これはx>2を満たしている。

②のとき2x−4=0⇔2x=4⇔x=2のとき
2x−4=2
2x=6
x=3
これはx=2を満たしていないので不適。

①のとき2x−4<0⇔2x<4⇔x<2のとき
−(2x−4)>2
-2x+4>2
-2x>-2
両辺を−2で割ると
x<1
これはx>2を満たしている。

一次不等式を利用して解く文章題

一次不等式を利用して解く文章題は定期テストで頻出です。自分で確実に不等式を立てられるようにいろんな問題を問いて練習しましょう。

【例題】

A君は今10000円持っています。目の前に1回200円のくじ引きと1回400円のくじ引きがあり、どっちのくじをを何回引くか迷っています。
「合計40回引くとおまけが付きます!」という看板を見たので両方合わせて40回引くことにしました。合計で40回くじを引くために必要な金額が10000円を超えないようにするには、どちらを何回以上引けばいいですか。

【解答】

何回以上引けばいいかを求めるので、くじを引く回数を文字で置けば良さそうですね。

1回200円の記事をx回引くとする。(もちろん1回400円のくじを引く回数をxと置いても良い。)

このとき、400円のくじは(40−x)回引く。

合計金額が10000円以下になればいいので
200x +400(40-x)≦10000
200x +16000-400x≦10000
200x -400x≦10000-16000
-200x≦−6000
−x≦−30
x≧30

よって合計金額が10000円を超えないようにするには、40回のうち、1回200円のくじを30回以上引けばいい。

この記事を書いた人
慶應義塾大学 理工学部に通っています。1人旅が趣味で、得意科目は数学と英語です!

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